Krzywizna krzywej

Wzory i definicje

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako^[1]:

${\displaystyle \kappa =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {|\Delta \varphi |}{\Delta S}}=\left|{\frac {d\varphi }{dS}}\right|.}$

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

${\displaystyle \kappa =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta S}}={\frac {d\varphi }{dS}},}$

gdzie ${\displaystyle \Delta \varphi }$ jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a ${\displaystyle \Delta S}$ długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę ${\displaystyle \kappa }$ w punkcie ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ są następujące^[2]:

• Dla krzywej określonej funkcją ${\displaystyle y=f(x)}$ w układzie kartezjańskim:

${\displaystyle \kappa ={\frac {|y''_{0}|}{(1+{y'_{0}}^{2})^{3/2}}}.}$

• Dla krzywej określonej parametrycznie ${\displaystyle x=p(t),y=q(t)}$ w układzie kartezjańskim:

${\displaystyle \kappa ={\frac {|y''_{0}x'_{0}-x''_{0}y'_{0}|}{({x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2})^{3/2}}}.}$

• Dla krzywej określonej funkcją ${\displaystyle r=f(\varphi )}$ w układzie biegunowym:

${\displaystyle \kappa ={\frac {|{r_{0}}^{2}+2{r'_{0}}^{2}-r_{0}r''_{0}|}{({r_{0}}^{2}+{r'_{0}}^{2})^{3/2}}}.}$

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie ${\displaystyle P}$ nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

${\displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}.}$

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ nazywamy punkt ${\displaystyle S(\xi ,\eta ),}$ leżący na normalnej do krzywej w punkcie ${\displaystyle P}$ po stronie jej wklęsłości w odległości od ${\displaystyle P}$ równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie ${\displaystyle P}$ krzywej są następujące:

• Dla krzywej o równaniu ${\displaystyle y=f(x){:}}$

${\displaystyle \xi =x_{0}-y'_{0}{\frac {1+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}}},}$

${\displaystyle \eta =y_{0}+{\frac {1+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}}}.}$

• Dla krzywej o równaniach ${\displaystyle x=p(t),y=q(t){:}}$

${\displaystyle \xi =x_{0}-y'_{0}{\frac {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}x'_{0}-y'_{0}x''_{0}}},}$

${\displaystyle \eta =y_{0}+x'_{0}{\frac {{x'_{0}}^{2}+{y'_{0}}^{2}}{y''_{0}x'_{0}-y'_{0}x''_{0}}}.}$

Dowód

Krzywizna krzywej ${\displaystyle y=f(x)}$ w punkcie ${\displaystyle C=(x_{C},y_{C})}$ jest równa granicy ilorazu kąta ${\displaystyle \varphi }$ pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach ${\displaystyle C}$ i ${\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}$ a długością łuku ${\displaystyle L}$ między ${\displaystyle C}$ a ${\displaystyle B,}$ gdy ${\displaystyle B\to C{:}}$

${\displaystyle \kappa =\lim \limits _{B\to C}{\frac {\varphi }{L}}.}$

Kąt ${\displaystyle \varphi }$ można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} (f'(x_{B}))-\operatorname {arctg} (f'(x_{C})).}$

Natomiast długość łuku ${\displaystyle L}$ jako całkę oznaczoną:

${\displaystyle L=\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt.}$

Wtedy, zważając na to, że ${\displaystyle B\to C\iff x_{B}\to x_{C}{:}}$

${\displaystyle \kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {\operatorname {arctg} (f'(x_{B})-\operatorname {arctg} (f'(x_{C}))}{\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt}}.}$

Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym ${\displaystyle {\frac {0}{0}},}$ dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

${\displaystyle \kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {{\frac {d}{dx_{B}}}(\operatorname {arctg} (f'(x_{B}))-\operatorname {arctg} (f'(x_{C})))}{{\frac {d}{dx_{B}}}\int \limits _{x_{C}}^{x_{B}}{\sqrt {f'(t)^{2}+1}}\ dt}}.}$

Pochodna ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} (x)}$ jest równa ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}},}$ natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, mamy:

${\displaystyle \kappa =\lim \limits _{x_{B}\to x_{C}}{\frac {f''(x_{B})}{f'(x_{B})^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {f'(x_{B})^{2}+1}}}={\frac {f''(x_{C})}{(f'(x_{C})^{2}+1)^{1+1/2}}}.}$

Dla funkcji uwikłanej ${\displaystyle F(x,y)=0}$ wystarczy zamienić ${\displaystyle f'(x)}$ na ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ przez co wzór przyjmuje następującą postać:

${\displaystyle \kappa ={\frac {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left(\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1\right)^{3/2}}}.}$

Jest wtedy jednak zależny zarówno od ${\displaystyle x,}$ jak i ${\displaystyle y.}$

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Inny dowód

Krzywa dana w sposób jawny

Dana jest krzywa płaska^[2] o równaniu ${\displaystyle y=f(x)}$ i ciągłych pochodnych ${\displaystyle y(x)',y(x)''.}$ Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty ${\displaystyle P(x_{o},y_{o})}$ i ${\displaystyle Q(x_{1},y_{1}).}$ Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami

${\displaystyle y-f(x_{o})=f'(x_{o})(x-x_{o}),\quad y-f(x_{1})=f'(x_{1})(x-x_{1}).}$

(a)

Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach ${\displaystyle P,\;Q,}$ zwane normalnymi, otrzymamy, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach (a)

${\displaystyle y-f(x_{o})=-{\frac {1}{f'(x_{o})}}(x-x_{o}),\quad y-f(x_{1})=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}(x-x_{1}).}$

(b)

Punkt ${\displaystyle S_{1}(x_{s},y_{s}),}$ w którym przecinają się te normalne, otrzymamy, rozwiązując układ równań (b)

${\displaystyle x_{s}=x_{o}-\lambda f'(x_{o}),}$

${\displaystyle y_{s}=y_{o}+\lambda ,}$

gdzie:

${\displaystyle \lambda ={\frac {x_{1}-x_{o}+[f(x_{1})-f(x_{o})]f'(x_{1})}{f'(x_{1})-f'(x_{o})}}.}$

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez ${\displaystyle x_{1}-x_{o}}$ i po przejściu do granicy ${\displaystyle x_{1}\to x_{o}}$ (punkt ${\displaystyle S_{1}(x_{s},y_{s})}$ zmierza do punktu ${\displaystyle S_{o}(x_{*},y_{*})}$) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie ${\displaystyle P}$

${\displaystyle x^{*}=x_{o}-\lambda ^{*}f'(x_{o}),\quad y^{*}=y_{o}+\lambda ^{*},}$

gdzie:

${\displaystyle \lambda ^{*}={\frac {1+[f'(x_{o})]^{2}}{f''(x_{o})}}.}$

Promień krzywizny krzywej ${\displaystyle \rho }$ otrzymamy z równania

${\displaystyle \rho ^{2}=(x_{o}-x^{*})^{2}+(y_{o}-y^{*})^{2}=\left(\lambda ^{*}f'(x_{o})\right)^{2}+\lambda ^{*2}=\lambda ^{*2}\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)^{3}}{[f''(x_{o})]^{2}}}\qquad \longrightarrow \qquad \rho ={\frac {\left(1+[f'(x_{o})]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(x_{o})\right|}}.}$

Krzywa opisana parametrycznie

Przez dwa punkty ${\displaystyle P(x_{o},y_{o}),\;Q(x_{1},y_{1})}$ krzywej^[2] opisanej równaniami ${\displaystyle x=x(t),\;y=y(t)}$ przechodzi sieczna dana równaniem

${\displaystyle {\frac {y_{1}-y_{o}}{x_{1}-x_{o}}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}\quad {}}$ lub ${\displaystyle y=y_{o}={\frac {y_{1}-y_{o}}{x_{1}-x_{o}}}(x-x_{o}).}$

Dzieląc licznik i mianownik przez ${\displaystyle t-t_{o}}$ i przechodząc do granicy ${\displaystyle x_{1}\to x_{o},}$ otrzymujemy

${\displaystyle y-y_{o}={\frac {{\dot {y}}_{o}}{{\dot {x}}_{o}}}(x-x_{o}),}$

gdzie ${\displaystyle {\dot {x}}_{o},\;{\dot {y}}_{o}}$ są pochodnymi względem parametru ${\displaystyle t}$ liczonymi w punkcie ${\displaystyle P.}$

Przez punkty ${\displaystyle P,\;Q}$ poprowadzimy dwie normalne o równaniach

${\displaystyle y-y_{o}=-{\frac {{\dot {x}}_{o}}{{\dot {y}}_{o}}}(x-x_{o}),\qquad y-y_{1}=-{\frac {{\dot {x}}_{1}}{{\dot {y}}_{1}}}(x-x_{1}).}$

Rozwiązaniem tych równań są współrzędne ${\displaystyle x_{s},\;y_{s}}$ punktu ${\displaystyle S_{1},}$ w którym przecinają się proste normalne

${\displaystyle x_{s}=x_{o}-\lambda {\dot {y}}_{o},\qquad y_{s}=y_{o}+\lambda {\dot {x}}_{o},}$

gdzie:

${\displaystyle \lambda ={\frac {{\dot {x}}_{1}(x_{1}-x_{o})+{\dot {y}}_{1}(y_{1}-y_{o})}{{\dot {x}}_{o}({\dot {y}}_{1}-{\dot {y}}_{o})-{\dot {y}}_{o}({\dot {x}}_{1}-{\dot {x}}_{o})}}.}$

Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez ${\displaystyle t_{1}-t_{o}}$ i po przejściu do granicy ${\displaystyle t\to t_{o}}$ otrzymujemy współrzędne środka ${\displaystyle S_{o}}$ krzywizny krzywej w jej punkcie ${\displaystyle P}$

${\displaystyle x^{*}=x_{o}-\lambda {\dot {y}}_{o},\qquad y^{*}=y_{o}+\lambda {\dot {x}}_{o},\qquad \lambda ={\frac {{\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}}{{\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}}}.}$

Promień krzywizny ${\displaystyle \rho }$ równy jest odległości punktów ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle S_{o}}$

${\displaystyle \rho ^{2}=(x^{*}-x_{o})^{2}+(y^{*}-y_{o})^{2}=\lambda ^{2}(y_{o}^{'2}+x_{o}^{'2}),}$

${\displaystyle \rho ={\frac {({\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2})^{\frac {3}{2}}}{\left|{\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}\right|}}.}$

Krzywa jako funkcja uwikłana

Dana jest krzywa^[2] o równaniu ${\displaystyle F(x,y)=0,}$ gdzie ${\displaystyle F(x,y)}$ jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu ${\displaystyle P(x_{o},y_{o}).}$

Jeżeli ${\displaystyle F_{y}(x_{o},y_{o})\neq 0,}$ to w otoczeniu punktu ${\displaystyle P}$ można funkcji ${\displaystyle F}$ nadać postać ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle f(x_{o})=y_{o}}$ i mamy

${\displaystyle f^{'}(x)=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}},\qquad f^{''}(x)=-{\frac {F_{x}^{2}F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{y}^{2}F_{xx}}{F_{y}^{3}}}=-\,{\frac {\mathrm {Z} }{F_{y}^{3}}}.}$

Równanie stycznej do krzywej ${\displaystyle y-y_{o}=f^{'}(x_{o})(x-x_{o})}$ przybiera teraz postać

${\displaystyle F_{x}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})+F_{y}(x_{o},y_{o})(y-y_{o}),}$

a równania normalnych w punktach ${\displaystyle P(x_{o},y_{o}),\,Q(x_{1},\,y_{1})}$

${\displaystyle F_{y}(x_{o},y_{o})(x-x_{o})-F_{x}(x_{o},y_{o})(y-y_{o}),}$

${\displaystyle F_{y}(x_{1},y_{1})(x-x_{1})-F_{x}(x_{1},y_{1})(y-y_{1}).}$

Po wprowadzeniu oznaczeń ${\displaystyle F_{x}(x_{o},y_{o})=F_{xo},\;\;F_{y}(x_{o},y_{o})=F_{yo},\;\;F_{x}(x_{1},y_{1})=F_{x1},\;\;F_{y}(x_{1},y_{1})=F_{y1}}$

rozwiązanie tych równań ma postać

${\displaystyle x=x_{o}-\lambda F_{ox},\qquad y=y_{o}-\lambda F_{oy},}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {F_{x1}(y_{1}-y_{o})-F_{y1}(x_{1}-x_{o})}{F_{yo}(F_{x1}-F_{xo})-F_{xo}(F_{y1}-F_{yo})}}.}$

Po przejściu do granicy ${\displaystyle Q\to P,}$ otrzymujemy

${\displaystyle x^{*}=x_{o}-\lambda ^{*}F_{ox},\qquad y^{*}=y_{o}-\lambda ^{*}F_{oy},}$

gdzie:

${\displaystyle \lambda ^{*}={\frac {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}{\mathrm {Z} }},\qquad \mathrm {Z} =F_{x}^{2}F_{yy}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{y}^{2}F_{xx}.}$

Promień krzywizny wyraża się wzorem

${\displaystyle \rho ^{2}=(x^{*}-x_{o})^{2}+(y^{*}-y_{o})^{2}=(\lambda ^{*}F_{x})^{2}+(\lambda ^{*}F_{y})^{2},}$

${\displaystyle \rho ={\frac {(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}{|\mathrm {Z} |}}.}$

Przykłady

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

${\displaystyle x(t)=A\sin(at+\delta ),\quad y(t)=B\sin(bt).}$

Wartości poszczególnych pochodnych:

${\displaystyle x'(t)=Aa\cos(at+\delta ),}$

${\displaystyle y'(t)=Bb\cos(bt),}$

${\displaystyle x''(t)=-Aa^{2}\sin(at+\delta ),}$

${\displaystyle y''(t)=-Bb^{2}\sin(bt).}$

Krzywizna jako funkcja parametru ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {-Bb^{2}\sin(bt)\cdot Aa\cos(at+\delta )+Aa^{2}\sin(at+\delta )\cdot Bb\cos(bt)}{\left(A^{2}a^{2}\cos ^{2}(at+\delta )+B^{2}b^{2}\cos ^{2}(bt)\right)^{3/2}}}.}$

W szczególności dla okręgu ${\displaystyle A=B=r,\quad a=b=1,\quad \delta ={\frac {\pi }{2}},}$
krzywizna nie zależy od parametru ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {-r\sin(t)\cdot (-r\sin(t))+r\cos(t)\cdot r\cos(t)}{\left(r^{2}\sin ^{2}(t)+r^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}={\frac {r^{2}}{r^{3}}}={\frac {1}{r}}.}$

Natomiast dla elipsy ${\displaystyle a=b=1,\quad \delta ={\frac {\pi }{2}},}$
krzywizna zależy od parametru ${\displaystyle t{:}}$

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {-B\sin(t)\cdot (-A\sin(t))+A\cos(t)\cdot B\cos(t)}{\left(A^{2}\sin ^{2}(t)+B^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}={\frac {AB}{\left(A^{2}\sin ^{2}(t)+B^{2}\cos ^{2}(t)\right)^{3/2}}}.}$

Uwaga

W ogólnym przypadku ${\displaystyle A\neq B,\quad a\neq b,\quad \delta \in R}$ krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in R,}$ dla których ${\displaystyle x(t_{1})=x(t_{2}),\;\;y(t_{1})=y(t_{2})}$).

Zobacz też

• ewoluta
• ewolwenta
• łuk zwykły
• wzory Freneta

Przypisy