Liść Kartezjusza

Liść Kartezjusza – płaska krzywa geometryczna trzeciego stopnia opisana równaniem^[1]:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy,}$

gdzie ${\displaystyle a\neq 0}$ – stały parametr krzywej.

Krzywą tę można również opisać równaniami parametrycznymi:

${\displaystyle x={\frac {3at}{1+t^{3}}},}$

${\displaystyle y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}},}$

gdzie ${\displaystyle t\neq 1,t\in R.}$

Zakresom wartości parametru ${\displaystyle t}$ odpowiadają następujące fragmenty krzywej:

• dla ${\displaystyle t<-1}$ otrzymamy  prawe dolne „skrzydło” (wtedy ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle y<0}$),
• dla ${\displaystyle -1<t<0}$ otrzymamy lewe górne „skrzydło” (wtedy ${\displaystyle x<0,}$ ${\displaystyle y>0}$),
• dla ${\displaystyle t>0}$ otrzymamy pętlę na krzywej (${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle y>0}$).

Cechy liścia Kartezjusza:

• jest symetryczny względem prostej ${\displaystyle y=x,}$
• ma jedną asymptotę, którą jest prosta o równaniu ${\displaystyle y=-x-a,}$
• zmieniając wartość parametru ${\displaystyle a}$ na ${\displaystyle -a}$ otrzymamy liść Kartezjusza odbity symetrycznie względem prostej ${\displaystyle y=-x,}$
• pole obszaru otoczonego pętlą wynosi ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}a^{2}.}$

Liść Kartezjusza został zaproponowany przez Kartezjusza do sprawdzenia metod Pierre’a de Fermata służących do szukania ekstremów funkcji^{[potrzebny przypis]}.

Zobacz też

• lista krzywych
• owal Kartezjusza
• trysektrysa Maclaurina

Przypisy

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 452. ISBN 83-01-02175-6.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Folium of Descartes, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).