Płaskie zginanie pręta

Zginanie – w wytrzymałości materiałów stan deformacji, przy którym pręt prosty w stanie niezdeformowanym, po deformacji jest zakrzywiony (wykazuje różną od zera krzywiznę jego osi).

Zginanie jest dominującym sposobem pracy elementów konstrukcji, którymi są belki.

Ze względów technicznych, dla materiałów liniowo-sprężystych, rozróżnia się kilka przypadków szczególnych zginania:

• czyste zginanie – naprężenia w przekroju redukują się jedynie do momentu zginającego, brak jest sił podłużnych i sił poprzecznych (ścinających),
• proste zginanie – naprężenia redukują się do momentu i sił poprzecznych,
• ściskanie/rozciąganie mimośrodowe – naprężenia redukują się do momentu i siły podłużnej, siły poprzeczne mogą, ale nie muszą wystąpić.

Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.

Teoria Bernoulliego-Eulera zginania pręta

Założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta przed deformacją pozostaje prosty i prostopadły po deformacji.

Skutkiem tego założenia jest równanie odkształceń wzdłuż wysokości przekroju. Przy założeniu, że odkształcenie na osi pręta (z=0) jest zerowe odkształcenia wynoszą:

${\displaystyle \epsilon _{x}=\pm {\frac {z}{\rho }},}$

gdzie arbitralność znaku wynika z przyjętej parametryzacji dla obliczenia promienia krzywizny.

Odkształcenia wywołują naprężenia normalne:

${\displaystyle \sigma _{x}=\pm E{\frac {z}{\rho }}.}$

Obliczając siłę podłużną w przekroju

${\displaystyle N=\int _{A}\sigma _{x}dA=\pm E\int _{A}{\frac {z}{\rho }}dA=\pm {\frac {E}{\rho }}\int _{A}zdA=\pm {\frac {E}{\rho }}S_{x}}$

oraz moment zginający

${\displaystyle M=\int _{A}z\sigma _{x}dA=\pm E\int _{A}{\frac {z^{2}}{\rho }}dA=\pm {\frac {E}{\rho }}\int _{A}z^{2}dA=\pm {\frac {E}{\rho }}J_{x},}$

gdzie ${\displaystyle J_{x}}$ jest momentem bezwładności względem osi ${\displaystyle x}$ pręta.

Jeśli wielkości przekrojowe są obliczanie względem środka ciężkości przekroju, to ${\displaystyle S_{x}=0}$ oraz ${\displaystyle N=0}$ (zginanie bez siły podłużnej). Wtedy pozostaje jedno równanie

${\displaystyle {\frac {EJ_{x}}{\rho (x)}}=\pm M(x).}$

Stąd można wyliczyć promień krzywizny i uzyskać równanie naprężeń wzdłuż wysokości przekroju

${\displaystyle \sigma _{x}(z)=\pm {\frac {z\cdot M}{J_{x}}}.}$

Dla nieskończenie małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę przybliża się drugą pochodną równania linii ugięcia:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\approx \pm w''(x),}$

otrzymując równanie różniczkowe:

${\displaystyle EJ_{x}w''(x)=\pm M(x),}$

gdzie znak należy dobrać stosownie do konwencji znakowania momentów.

Jeśli ${\displaystyle M(x)=const}$ to jest to przypadek czystego zginania. Równaniem linii ugięcia jest parabola i jest to rozwiązanie ścisłe, pozbawione sprzeczności.

Jeśli moment jest zmienny względem x to z tw. Schwedlera-Żurawskiego wynika istnienie sił poprzecznych. Wtedy równanie linii ugięcia staje się równaniem czwartego rzędu:

${\displaystyle EJ_{x}w^{IV}=-q(x).}$

Jest to przypadek prostego zginania. Prowadzi on do wewnętrznie sprzecznego rozwiązania – nie są spełnione warunki nierozdzielności. Pomimo tego jest on używany do praktycznego projektowania, gdyż dla prętów długich w stosunku do rozmiarów przekroju błąd jest pomijalny. Dla prętów krępych (krótkich w stosunku do wymiarów przekroju) zginanie jest lepiej opisywane przez teorię Timoshenki.

Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym jest osiągane dla ${\displaystyle z_{max}}$ i wynosi:

${\displaystyle \sigma _{max}={\frac {M_{x}}{W_{x}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \sigma _{max}}$ – maksymalne naprężenie normalne,

${\displaystyle M_{x}}$ – moment gnący (zginający),

${\displaystyle W_{x}}$ – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi ${\displaystyle W={\frac {J_{x}}{z_{max}}}}$ i zależy od rozmiaru i kształtu przekroju elementu.

Zgodnie z hipoteza wytężeniową naprężenie musi spełniać warunek:

${\displaystyle \sigma _{max}<k_{g},}$

gdzie:

${\displaystyle k_{g}}$ – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Bibliografia

• Stefan Piechnik: Wytrzymałość materiałów. Dla wydziałów budowlanych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 83-01-00873-3.brak strony w książce

Linki zewnętrzne

• Wskaźniki wytrzymałości dla różnych przekrojów