Płaszczyzna S

Ten artykuł od 2012-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Płaszczyzna S, płaszczyzna s – płaszczyzna zespolona, na której przedstawia się wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace’a. Jest to matematyczna dziedzina, w której zamiast spoglądać na procesy w dziedzinie czasu, gdzie modeluje się je za pomocą funkcji czasu, widzi się je jako równania w dziedzinie częstotliwości. Płaszczyzna S wykorzystywana jest jako narzędzie analizy graficznej w inżynierii i fizyce.

Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem ${\displaystyle e^{-st}}$ w granicach od ${\displaystyle -\infty }$ do ${\displaystyle \infty ,}$ gdzie ${\displaystyle s}$ jest liczbą zespoloną:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$

Jeden ze sposobów na zrozumienie, co otrzymuje się w wyniku takiego działania, polega na zwróceniu się ku analizie Fouriera. W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości).

Transformacja S wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie ${\displaystyle e^{-st}}$ ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty ${\displaystyle e^{-t}.}$ Transformacja S uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji S. Transformacja Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera

Transformacja S powszechnie określana jest mianem transformacji Laplace’a. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez ${\displaystyle s}$ daje efekt różniczkowania (zob. człon różniczkujący), dzielenie przez ${\displaystyle s}$ daje efekt całkowania (zob. człon całkujący). Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie S i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).

Zobacz też

• płaszczyzna Z
• płaszczyzna w