Pierścień półprosty w sensie Jacobsona
Pierścień półprosty w sensie Jacobsona albo pierścień półprymitywny[1] – w algebrze, pierścień (niekoniecznie przemienny), którego radykał Jacobsona jest ideałem zerowym: część wspólna wszystkich lewostronnych/prawostronnych ideałów maksymalnych zawiera wyłącznie zero tego pierścienia[2].
Przykłady
Półproste w sensie Jacobsona są:
- pierścień liczb całkowitych;
- ciała; pierścienie regularne w sensie von Neumanna; pierścienie prymitywne, tak lewo-, jak i prawostronnie;
- pierścienie wielomianów skończenie wielu zmiennych nad ciałami[1];
- C*-algebry[a];
- pierścienie przemienne wtedy i tylko wtedy, gdy są iloczynami podprostymi ciał;
- pierścienie artinowskie lewostronnie wtedy i tylko wtedy, gdy są półproste[b].
Niech będzie monoidem, zaś oznacza algebraiczne rozszerzenie ciał; wówczas jeśli algebra półgrupowa jest półprymitywna, to algebra jest również półprymitywna[1].
![{\displaystyle L[M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd550c249ef68a0f54fc158d9a6d3d1ff2d0d98)
![{\displaystyle K[M]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d41e4c41da3f9cd455497535cbfdaf81a15d4b3)
Uwagi
- ↑ Wynika to z twierdzenia Gelfanda-Najmarka i tego, że w przypadku C*-algebry *-reprezentacja na przestrzeni Hilberta nieprzywiedlna topologicznie jest nieprzywiedlna algebraicznie, przez co jej jądro jest ideałem prymitywnym w czysto algebraicznym sensie (zob. spektrum C*-algebry).
- ↑ Pierścienie półproste to pierścienie, które są półproste jako moduły nad nimi samymi.
Przypisy
- ↑ a b c Kubat 2013 ↓, s. 13–15.
- ↑ Jacobson 1989 ↓, s. 189.
Bibliografia
- Łukasz Kubat: Struktura i reprezentacje algebr plaktycznych. Instytut Matematyczny PAN, 2013.
- Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, 1989. ISBN 0-7167-1933-9.
