Pochodna ułamkowa

Ten artykuł od 2016-07 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Pochodna ułamkowa – uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty.

Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech

${\displaystyle f(x)=x^{k},}$

wtedy pochodna n-tego rzędu

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}x^{k}={\frac {k!}{(k-n)!}}x^{k-n}.}$

Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza się do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja ${\displaystyle \Gamma }$.

Dla ${\displaystyle a}$ rzeczywistego definiujemy więc

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}.}$

Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora

${\displaystyle f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}(y-x)^{n},}$

można ją zróżniczkować wyraz po wyrazie zgodnie z powyższą definicją, co jest równoważne

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}{\frac {d^{a}}{dx^{a}}}f(t)\,dt,}$

licząc całki również wyraz po wyrazie.

Łatwo sprawdzić ze pochodna ułamkowa jest ciągła względem jej rzędu.