Proper forsing

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Szelach przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980^[1]. W 1982, Szelach opublikował monografię^[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych^[3][4][5].

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Szelacha.

Niech ${\displaystyle \mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )}$ będzie pojęciem forsingu.

• Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej ${\displaystyle \lambda }$, rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów ${\displaystyle \lambda }$ jest oznaczana przez ${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }.}$

(i) Zbiór ${\displaystyle X\subseteq [\lambda ]^{\omega }}$ jest nieograniczony jeśli dla każdego ${\displaystyle y\in [\lambda ]^{\omega }}$ możemy znaleźć ${\displaystyle x\in X}$ taki że ${\displaystyle y\subseteq x.}$

(ii) Zbiór ${\displaystyle X\subseteq [\lambda ]^{\omega }}$ jest domknięty jeśli dla każdego ciągu ${\displaystyle x_{0}\subseteq x_{1}\subseteq x_{2}\subseteq \ldots \subseteq x_{n}\subseteq \ldots }$ (dla ${\displaystyle n<\omega }$) elementów zbioru ${\displaystyle X}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle \bigcup \limits _{n<\omega }x_{n}\in X.}$

(iii) Zbiór ${\displaystyle S\subseteq [\lambda ]^{\omega }}$ jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem ${\displaystyle X\subseteq [\lambda ]^{\omega }}$ (tzn. ${\displaystyle S\cap X\neq \varnothing }$).

• Pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów ${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}$ dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \lambda .}$ Innymi słowy, ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \lambda }$ i każdego stacjonarnego zbioru ${\displaystyle S\subseteq [\lambda ]^{\omega }}$ mamy, że ${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} }}$ „${\displaystyle S}$ jest stacjonarny”.

• Dla ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ rozważmy następującą grę nieskończoną ${\displaystyle \Game ^{\mathrm {proper} }(p,\mathbb {P} )}$ długości ${\displaystyle \omega .}$ W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg ${\displaystyle \langle {\dot {\alpha }}_{n},\beta _{n}:n<\omega \rangle }$ w sposób następujący. Na kroku ${\displaystyle n,}$

najpierw Pierwszy wybiera ${\displaystyle \mathbb {P} }$-nazwę (term boole’owski) ${\displaystyle {\dot {\alpha }}_{n}}$ taką że ${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} }}$ „${\displaystyle {\dot {\alpha }}_{n}}$ jest liczbą porządkową”.

Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową ${\displaystyle \beta _{n}.}$

Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek ${\displaystyle q\leqslant p}$ taki, że ${\displaystyle q\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall n<\omega )(\exists k<\omega )({\dot {\alpha }}_{n}=\beta _{k}).}$

• Pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest proper jeśli dla każdego warunku ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ,}$ Druga ma strategię zwycięską w grze ${\displaystyle \Game ^{\mathrm {proper} }(p,\mathbb {P} ).}$

• Powiemy, że zbiór ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$ jest filtrem w ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\displaystyle G\neq \emptyset ,}$

(ii) jeśli ${\displaystyle p,q\in \mathbb {P} ,}$ ${\displaystyle q\leqslant p}$ oraz ${\displaystyle q\in G,}$ to również ${\displaystyle p\in G,}$

(iii) jeśli ${\displaystyle p,q\in G,}$ to można znaleźć ${\displaystyle r\in G}$ taki że ${\displaystyle r\leqslant p}$ oraz ${\displaystyle r\leqslant q.}$

• Zbiór ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {P} }$ jest gęstym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jeśli ${\displaystyle (\forall p\in \mathbb {P} )(\exists q\in I)(q\leqslant p).}$
• Niech ${\displaystyle \chi }$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\chi )}$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż ${\displaystyle \chi .}$ Przypuśćmy, że ${\displaystyle N}$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in )}$ takim, że ${\displaystyle \mathbb {P} \in N.}$ Powiemy, że warunek ${\displaystyle q\in \mathbb {P} }$ jest warunkiem ${\displaystyle (N,\mathbb {P} )}$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {P} }$ który należy do modelu ${\displaystyle N}$ mamy

dla każdego ${\displaystyle r\in A,}$ jeśli ${\displaystyle r,q}$ są niesprzeczne, to ${\displaystyle r\in N.}$

(Przypomnijmy, że warunki ${\displaystyle r,q}$ są niesprzeczne jeśli istnieje warunek ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ silniejszy niż oba te warunki).

• Pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \chi }$ istnieje ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}(\chi )}$ taki, że:

jeśli ${\displaystyle N}$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ,x\in N}$ oraz ${\displaystyle p\in \mathbb {P} \cap N,}$

to istnieje warunek ${\displaystyle q\leqslant p}$ który jest ${\displaystyle (N,\mathbb {P} )}$-generyczny.

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

• Przypuśćmy, że pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ jest proper. Wówczas

(a) Jeśli ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ oraz ${\displaystyle {\dot {\tau }}}$ jest ${\displaystyle \mathbb {P} }$-nazwą taką, że ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }{\dot {\tau }}:\omega \longrightarrow \mathbf {V} ,}$ to istnieją warunek ${\displaystyle q\leqslant p}$ oraz ciąg ${\displaystyle \langle A_{n}:n<\omega \rangle }$ zbiorów przeliczalnych takie, że ${\displaystyle q\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall n<\omega )({\dot {\tau }}(n)\in A_{n}).}$

(b) ${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} }}$ „${\displaystyle \omega _{1}^{\mathbf {V} }}$ jest liczbą kardynalną”.

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle }$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego ${\displaystyle \alpha <\gamma }$ mamy

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$ „${\displaystyle {\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }}$ jest proper”.

Wówczas ${\displaystyle \mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})}$ jest proper.

• Załóżmy CH. Przypuśćmy, że ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\omega _{2}\rangle }$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego ${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$ mamy

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$ „${\displaystyle {\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }}$ jest proper mocy co najwyżej ${\displaystyle \aleph _{1}}$”.

Wówczas ${\displaystyle \mathbb {P} _{\omega _{2}}}$ spełnia ${\displaystyle \aleph _{2}}$-cc (tzn. każdy antyłańcuch w ${\displaystyle \mathbb {P} _{\omega _{2}}}$ jest mocy co najwyżej ${\displaystyle \aleph _{1}}$) oraz ${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$ „${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$” dla każdego ${\displaystyle \alpha <\omega _{2}.}$

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowawczych związanych z tą własnością.

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy ${\displaystyle W_{1}}$ i ${\displaystyle W_{2}}$ i własność ${\displaystyle W_{1}}$ implikuje własność ${\displaystyle W_{2}.}$ Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle }$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego ${\displaystyle \alpha <\gamma }$ mamy

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$” ${\displaystyle {\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }}$ jest proper i ma własność ${\displaystyle W_{1}}$”,

to ${\displaystyle \mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})}$ jest proper i ma własność ${\displaystyle W_{2}.}$

(b) Jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest liczbą graniczną oraz ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle }$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego ${\displaystyle \alpha <\gamma }$ mamy

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$ „${\displaystyle {\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }}$ jest proper” oraz ${\displaystyle \mathbb {P} _{\alpha }}$ ma własność ${\displaystyle W_{1},}$

to ${\displaystyle \mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})}$ (jest proper i) ma własność ${\displaystyle W_{2}.}$

Jeśli własności ${\displaystyle W_{1},W_{2}}$ są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

• Powiemy, że pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {Q} =(\mathbb {Q} ,\leqslant )}$ jest ${\displaystyle ^{\omega }\omega }$-ograniczające, jeśli

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {Q} }{\big (}\forall \eta \in {}^{\omega }\omega {\big )}{\big (}\exists \nu \in {}^{\omega }\omega \cap \mathbf {V} {\big )}{\big (}\forall n\in \omega {\big )}{\big (}\eta (n)<\nu (n){\big )}.}$

Twierdzenie: Jeśli ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle }$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego ${\displaystyle \alpha <\gamma }$ mamy

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$ „${\displaystyle {\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }}$ jest proper i ${\displaystyle ^{\omega }\omega }$-ograniczające”,

to ${\displaystyle \mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})}$ jest proper i jest ${\displaystyle ^{\omega }\omega }$-ograniczające.

• Powiemy, że pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {Q} =(\mathbb {Q} ,\leqslant )}$ jest słabo ${\displaystyle ^{\omega }\omega }$-ograniczające, jeśli

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {Q} }{\big (}\forall \eta \in {}^{\omega }\omega {\big )}{\big (}\exists \nu \in {}^{\omega }\omega \cap \mathbf {V} {\big )}{\big (}\{n\in \omega :\eta (n)<\nu (n)\}}$ jest nieskończony ${\displaystyle {\big )}.}$

Twierdzenie: Jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest liczbą graniczną oraz ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle }$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego ${\displaystyle \alpha <\gamma }$ mamy

${\displaystyle \Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}}$” ${\displaystyle {\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }}$ jest proper „oraz ${\displaystyle \mathbb {P} _{\alpha }}$ jest słabo ${\displaystyle ^{\omega }\omega }$-ograniczające,

to ${\displaystyle \mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})}$ jest proper i jest słabo ${\displaystyle ^{\omega }\omega }$-ograniczające.

Rozdziały 6 i 18 w monografii Szelacha^[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna^[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna^[7].

James E. Baumgartner^[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

Powiemy, że pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )}$ spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych ${\displaystyle (\leqslant _{n})_{n<\omega }}$ na ${\displaystyle \mathbb {P} }$ taki, że

(i) jeśli ${\displaystyle q\leqslant _{0}p,}$ to ${\displaystyle q\leqslant p,}$

(ii) jeśli ${\displaystyle q\leqslant _{n+1}p,}$ to ${\displaystyle q\leqslant _{n}p,}$

(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków ${\displaystyle \langle p_{n}\colon n<\omega \rangle }$ ma tę własność, że ${\displaystyle p_{n+1}\leqslant _{n}p_{n}}$ (dla wszystkich ${\displaystyle n<\omega }$), to można znaleźć warunek ${\displaystyle q\in \mathbb {P} }$ taki, że ${\displaystyle (\forall n<\omega )(q\leqslant _{n}p_{n}),}$

(iv) dla każdego warunku ${\displaystyle p\in \mathbb {P} ,}$ liczby ${\displaystyle n<\omega }$ oraz maksymalnego antyłańcucha ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {P} }$ można wybrać warunek ${\displaystyle q\in \mathbb {P} }$ taki, że ${\displaystyle q\leqslant _{n}p}$ i zbiór ${\displaystyle \{r\in A\colon r,q}$ są niesprzeczne ${\displaystyle \}}$ jest przeliczalny.

• Jeśli pojęcie forsingu ${\displaystyle \mathbb {P} }$ spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy ${\displaystyle \leqslant _{n}=\leqslant ,}$ a w drugim ${\displaystyle \leqslant _{n}}$ jest równością.)
• Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera ${\displaystyle \mathbb {S} }$ jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje ${\displaystyle f\colon \operatorname {dom} (f)\to \omega }$ takie, że ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\subseteq \omega }$ oraz ${\displaystyle \omega \setminus \operatorname {dom} (f)}$ jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. ${\displaystyle g\leqslant f}$ wtedy i tylko wtedy, gdy (${\displaystyle f,g\in \mathbb {S} }$ oraz) ${\displaystyle f\subseteq g.}$

Dla liczby naturalnej ${\displaystyle n\in \omega }$ określmy relację dwuczłonową ${\displaystyle \leqslant _{n}}$ na ${\displaystyle \mathbb {S} }$ w sposób następujący. Kładziemy ${\displaystyle \leqslant _{0}=\leqslant }$ oraz dla ${\displaystyle n>0{:}}$

${\displaystyle g\leqslant _{n}f}$ wtedy i tylko wtedy, gdy (${\displaystyle f,g\in \mathbb {S} }$ oraz) ${\displaystyle g\leqslant f}$ i jeśli ${\displaystyle k\in \omega \setminus \operatorname {dom} (f)}$ i ${\displaystyle \left|k\setminus \operatorname {dom} (f)\right|<n}$ to ${\displaystyle k\notin \operatorname {dom} (g).}$

Łatwo można sprawdzić, że ${\displaystyle \leqslant _{n}}$ są porządkami częściowymi na ${\displaystyle \mathbb {S} }$ zaświadczającymi, że ${\displaystyle \mathbb {S} }$ spełnia aksjomat A.

• Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach^[9].

• forsing
• PFA
• pojęcie forsingu
• teoria mnogości