Prosta Simsona

Prosta Simsona punktu ${\displaystyle P}$ względem trójkąta ${\displaystyle ABC}$^[1] – w planimetrii, dla danego punktu ${\displaystyle P}$ leżącego na okręgu opisanym na trójkącie ${\displaystyle ABC,}$ prosta, na której leżą rzuty prostokątne punktu ${\displaystyle P}$ na proste ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle AC}$ i ${\displaystyle AB}$^[1].

Jej odkrycie przypisywane jest szkockiemu matematykowi, Robertowi Simsonowi, choć nie ma wzmianki o niej w żadnej jego pracy^[1]. Prosta ta bywa również nazywana prostą Wallace’a lub Wallace’a-Simsona od Williama Wallace’a, który jako pierwszy opublikował dowód jej istnienia w 1799 roku^[2].

Twierdzenie

Dany jest punkt ${\displaystyle P}$ leżący na okręgu opisanym na trójkącie ${\displaystyle ABC.}$ Rzuty prostokątne punktu ${\displaystyle P}$ na proste ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle AC}$ i ${\displaystyle AB}$ oznaczmy odpowiednio przez ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N.}$ Wówczas punkty ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$ leżą na jednej prostej^[1][3].

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeśli punkty ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$ są współliniowe, to punkt ${\displaystyle P}$ leży na okręgu opisanym na trójkącie ${\displaystyle ABC}$^[1].

Zwięźlej, punkt ${\displaystyle P}$ leży na okręgu opisanym na trójkącie ${\displaystyle ABC}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego rzuty prostokątne na proste ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle AC}$ i ${\displaystyle AB}$ leżą na jednej prostej^[4].

Zobacz też

• wysokość trójkąta
• twierdzenie Newtona
• twierdzenie Pascala

Przypisy

Linki zewnętrzne

• MichałM. Kieza MichałM., O prostej Simsona raz jeszcze, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, wrzesień 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31]  (pol.).