Przestrzeń Baire’a

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Własność przestrzeni topologicznych

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów ${\displaystyle X}$ jest gęstym podzbiorem ${\displaystyle X.}$

Niektórzy autorzy używają zwrotu ${\displaystyle X}$ ma własność Baire’a (zamiast „${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady

• Prosta rzeczywista ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest przestrzenią Baire’a.
• Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
• Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
• Każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią Baire’a.
• Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
• Przestrzeń ${\displaystyle (\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times 0)}$ z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolnego jej podzbioru domkniętego brzegowego ${\displaystyle F}$ zbiór ${\displaystyle F\cup (\mathbb {R} \times 0)}$ jest domknięty brzegowy w ${\displaystyle \mathbb {R} \times [0,\infty ),}$ która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest ${\displaystyle \mathbb {Q} \times 0,}$ która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Baire’a,
• żaden otwarty niepusty podzbiór ${\displaystyle X}$ nie jest pierwszej kategorii,
• wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
• dla każdych domkniętych zbiorów ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\dots \subseteq X,}$ jeśli ${\displaystyle \operatorname {int} {\big (}\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}{\big )}\neq \emptyset ,}$ to ${\displaystyle \operatorname {int} (F_{i})\neq \emptyset }$ dla pewnego ${\displaystyle i.}$

Szczególna przestrzeń topologiczna

Definicja

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z ${\displaystyle \mathbb {N} }$ w ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Zbiór ten może być traktowany jako produkt ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N} }$ przeliczalnie wielu kopii zbioru ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze ${\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {N} }$ możemy wprowadzić topologię produktową ${\displaystyle \tau _{B}.}$ Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },\tau _{B})}$ jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez ${\displaystyle \omega }$). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez ${\displaystyle {\mathcal {N}}.}$ To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie

• Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {N}}}$ kładziemy ${\displaystyle n(f,g)=\min\{n\in \mathbb {N} :f(n)\neq g(n)\}.}$ Definiujemy

${\displaystyle d(f,g)=0}$ jeśli ${\displaystyle f=g}$ oraz ${\displaystyle d(f,g)=2^{-n(f,g)}}$ w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić, że ${\displaystyle d}$ jest metryką zupełną na zbiorze ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ generującą topologię ${\displaystyle \tau _{B}.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}\times {\mathcal {N}}}$ jest homeomorficzne z ${\displaystyle {\mathcal {N}}.}$ I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ jest homeomorficzny z ${\displaystyle {\mathcal {N}}.}$
• Przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
• W dodatku do struktury topologicznej, ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację ${\displaystyle \leqslant ^{*}}$ na ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ przez

${\displaystyle f\leqslant ^{*}g}$ wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle {\big (}\exists N\in \mathbb {N} {\big )}{\big (}\forall n\geqslant N{\big )}(f(n)\leqslant g(n){\big )}}$

Wówczas ${\displaystyle \leqslant ^{*}}$ jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej ${\displaystyle {\mathcal {N}}.}$ Np. liczba dominująca ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• twierdzenie Baire’a
• zbiór pierwszej kategorii