Równanie Keplera

Równanie Keplera – równanie przestępne wiążące anomalię średnią z anomalią mimośrodową na eliptycznej orbicie keplerowskiej^[1]:

${\displaystyle E-e\sin E=n(t-t_{\mathrm {p} })=M,}$

gdzie:

${\displaystyle M}$ – anomalia średnia,

${\displaystyle E}$ – anomalia mimośrodowa,

${\displaystyle e}$ – mimośród orbity,

${\displaystyle t_{\mathrm {p} }}$ – moment przejścia ciała przez perycentrum orbity,

${\displaystyle t}$ – moment czasu na który liczymy anomalię,

${\displaystyle n}$ – ruch średni ${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}},}$ gdzie ${\displaystyle T}$ jest okresem orbitalnym, który można też wyrazić jako

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G(M+m)}{a^{3}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle G}$ – stała grawitacji,

${\displaystyle M}$ – masa ciała centralnego,

${\displaystyle m}$ – masa ciała którego ruch opisujemy,

${\displaystyle a}$ – długość półosi wielkiej eliptycznej orbity.

Rozwiązanie równania Keplera jest jednym z kroków niezbędnych do powiązania położenia ciała na orbicie z czasem.

Równanie to jest nierozwiązywalne analitycznie. Można je rozwiązać metodami numerycznymi (np. metodą Newtona lub metodą siecznych), poszukując pierwiastka funkcji:

${\displaystyle f(E)=E-e\sin E-M.}$

Wyznaczona z równania Keplera anomalia mimośrodowa wiąże się z anomalią prawdziwą poprzez zależność:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {\nu }{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle \nu }$ – anomalia prawdziwa.

Odpowiednikiem równania Keplera dla orbity hiperbolicznej jest hiperboliczne równanie Keplera:

${\displaystyle M=e\sinh H-H,}$

gdzie:

${\displaystyle H}$ – hiperboliczna anomalia mimośrodowa,

natomiast w przypadku orbity parabolicznej zależność pomiędzy anomalią prawdziwą a czasem opisuje równanie Barkera:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\operatorname {tg} ^{3}{\frac {\nu }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\nu }{2}}=2n(t-t_{p}).}$