Retrakcja (topologia)

Ten artykuł dotyczy topologii. Zobacz też: retrakcja (teoria kategorii).

Retrakcja – przekształcenie ciągłe przestrzeni topologicznej X w zbiór A będący podzbiorem X, tak aby wszystkie punkty ze zbioru A pozostały na swoim miejscu^[1].

Definicje

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle A\subseteq X.}$ Funkcja ciągła

${\displaystyle r\colon X\to A}$

nazywana jest retrakcją, jeżeli

${\displaystyle r|_{A}=\operatorname {id} _{A},}$

tzn. zachodzi równość ${\displaystyle r(a)=a}$ dla wszystkich elementów ${\displaystyle a}$ przestrzeni ${\displaystyle A.}$

Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ciągłym odwzorowaniom idempotentnym

${\displaystyle i\colon X\to X,}$

tj. takim funkcjom ${\displaystyle i,}$ że ${\displaystyle i\circ i=i.}$ Idempotentem odpowiadającym retrakcji

${\displaystyle r\colon X\to A}$

jest odwzorowanie ${\displaystyle i_{A}\circ r,}$ gdzie ${\displaystyle i_{A}\colon A\hookrightarrow X}$ jest zanurzeniem kanonicznym: ${\displaystyle i_{A}(a)=a}$ dla każdego elementu ${\displaystyle a}$ przestrzeni ${\displaystyle A.}$

Retraktem przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ nazywany jest każdy taki zbiór ${\displaystyle B\subseteq X,}$ dla którego istnieje retrakcja ${\displaystyle r\colon X\to B.}$ Przestrzenie homeomorficzne z retraktem ${\displaystyle B}$ nazywane są r-obrazami przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez Karola Borsuka.

Retraktem absolutnym (AR) nazywa się taką przestrzeń topologiczną ${\displaystyle X,}$ która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną przestrzeń normalną ${\displaystyle Y}$ jest retraktem ${\displaystyle Y.}$

Własności

• Retrakcje przestrzeni topologicznych są przekształceniami ilorazowymi^[2][3].

Dowód. Niech ${\displaystyle r\colon X\to A}$ będzie retrakcją przestrzeni ${\displaystyle X}$ na swoją podprzestrzeń ${\displaystyle A.}$ Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon A\to Y}$ o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle Y,}$ że złożenie ${\displaystyle f\circ r\colon X\to Y}$ jest ciągłe, również samo ${\displaystyle f}$ jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:

${\displaystyle f=f\circ r\circ i_{A},}$

gdzie ${\displaystyle i_{A}\colon A\to X}$ jest identycznościowym włożeniem ${\displaystyle A}$ w przestrzeń ${\displaystyle X.}$

• Podprzestrzeń ${\displaystyle M}$ przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na ${\displaystyle M}$ może być przedłużone na ${\displaystyle X.}$

• Każdy retrakt przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód. Niech ${\displaystyle r\colon X\to A}$ będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle X}$ na swoją podprzestrzeń ${\displaystyle A.}$ Przekątna:

${\displaystyle \triangle _{X}:=\{(x,y)\in X^{2}:x=y\}}$

jest podzbiorem domkniętym w produkcie ${\displaystyle X^{2}}$ (tw. Bourbakiego). Zatem

${\displaystyle A=(r\triangle Id_{X})^{-1}(\triangle _{X})}$

jest domknięte w ${\displaystyle X,}$ jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym ${\displaystyle r\triangle Id_{X}\colon X\to X^{2},}$ przy czym ${\displaystyle Id_{X}\colon X\to X}$ oznacza przekształcenie identycznościowe.

• Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma własności T₁, ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.

• Niech ${\displaystyle G}$ będzie niepustym podzbiorem otwartym w ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jeżeli ${\displaystyle Y}$ jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ że ${\displaystyle G\subseteq Y,}$ to zbiór ${\displaystyle X:=Y\setminus G}$ nie jest retraktem przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.

Dowód. Niech ${\displaystyle p\in G.}$ Niech ${\displaystyle B}$ będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie ${\displaystyle p,}$ zawierającą ${\displaystyle Y}$ w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni ${\displaystyle Y}$ na ${\displaystyle X.}$ Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym ${\displaystyle B\backslash G,}$ więc razem tworzą retrakcję ${\displaystyle Y\cup (B\backslash G)=B}$ na ${\displaystyle B\backslash G.}$ Oznaczmy tę retrakcję przez r. Wtedy, oznaczając przez s promień kuli, oraz przez S sferę brzegową kuli B, zdefiniujmy ${\displaystyle \rho :B\backslash G\to S{:}}$

${\displaystyle \rho (x):=p+s\cdot {\frac {x-p}{|x-p|}}}$

Zatem ${\displaystyle \rho \circ r:B\to S}$ byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.

• Twierdzenie (K.Borsuk) Niech ${\displaystyle X}$ będzie podprzestrzenią zwartą w ${\displaystyle R^{n};n}$ – liczba naturalna. Niech ${\displaystyle U}$ będzie otoczeniem otwartym ${\displaystyle X}$ w ${\displaystyle R^{n},}$ przy czym ${\displaystyle X}$ jest retraktem ${\displaystyle U.}$ Wtedy ${\displaystyle R^{n}\backslash X}$ ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.

Dowód. Niech ${\displaystyle B}$ będzie zwartym podzbiorem w ${\displaystyle R^{n},}$ zawierającym ${\displaystyle X}$ w swoim wnętrzu (${\displaystyle B}$ może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech ${\displaystyle W=U\cap Int(B).}$ Zatem ${\displaystyle X}$ jest retraktem zbioru otwartego ${\displaystyle W.}$

Niech ${\displaystyle S}$ będzie jedną ze składowych spójności zbioru ${\displaystyle R^{n}\backslash X.}$ Wtedy ${\displaystyle S}$ jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz ${\displaystyle X\cup S}$ jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru ${\displaystyle R^{n}\backslash X.}$ Gdyby ${\displaystyle Y:=S\subseteq W,}$ to ${\displaystyle X\cup S}$ byłoby zwarte, i miałoby ${\displaystyle X}$ za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:

${\displaystyle \{S\backslash W:S}$ – składowa w ${\displaystyle R^{n}\backslash X\}}$

jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej ${\displaystyle B\backslash W}$ niepustymi zbiorami parami rozłącznymi ${\displaystyle S\backslash W.}$ Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. Koniec dowodu.

• Każdy niepusty, domknięty podzbiór zbioru Cantora jest jego retraktem.
• Każdy niepusty, domknięty podzbiór kostki Cantora ${\displaystyle D^{\mathfrak {m}},}$ będący zbiorem typu G_δ, jest jej retraktem.
• Retrakt przestrzeni mającej własność punktu stałego ma własność punktu stałego.

Przykłady

• ${\displaystyle I=[0;1]}$ jest retraktem zbioru liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład: ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to I,}$ określona:

${\displaystyle r(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&x\in I\\1&x>1\end{cases}}.}$

• Sfera jednowymiarowa ${\displaystyle S^{1}}$ (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład ${\displaystyle r:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to S^{1},}$ określona: ${\displaystyle r(x)={\frac {x}{|x|}}.}$

Zobacz też

• retrakt deformacyjny
• retrakt otoczeniowy

Przypisy

Literatura

• Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty Matematyki. Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9.
• Karol Borsuk: Theory of retracts. Warszawa: PWN, 1966.brak strony w książce
• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce