Rozszerzenie Galois

Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne ${\displaystyle \mathbb {L} }$ danego ciała ${\displaystyle \mathbb {K} }$ takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała ${\displaystyle \mathbb {L} ,}$ ze względu na którą ${\displaystyle \mathbb {K} }$ jest ciałem elementów stałych.

Definicja

Rozszerzeniem Galois danego ciała ${\displaystyle \mathbb {K} }$ nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne ${\displaystyle \mathbb {L} }$ ciała ${\displaystyle \mathbb {K} }$ takie, że istnieje grupa ${\displaystyle \mathbb {G} }$ automorfizmów ciała ${\displaystyle \mathbb {L} }$ taka, że: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {L} ^{\mathbb {G} }}$^[1], gdzie ${\displaystyle \mathbb {L} ^{\mathbb {G} }:=\{k\in \mathbb {L} \colon \forall _{g\in \mathbb {G} }\ g(k)=k\}}$^[2].

Własności

Dane rozszerzenie algebraiczne ciała ${\displaystyle \mathbb {K} }$ jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym^[1].

Dowód

„${\displaystyle \Longrightarrow }$”

Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa ${\displaystyle \mathbb {G} }$ automorfizmów ciała ${\displaystyle \mathbb {L} ,}$ dla której ${\displaystyle \mathbb {K} }$ jest ciałem elementów stałych, tzn. ${\displaystyle \mathbb {L^{G}} =\mathbb {K} .}$ Ustalmy ${\displaystyle a\in \mathbb {L} }$ oraz nierozkładalny wielomian ${\displaystyle f}$ z pierścienia ${\displaystyle \mathbb {K[x]} }$ taki, że ${\displaystyle f(a)=0.}$ Udowodnimy następnie, że ${\displaystyle f}$ stanowi iloczyn czynników liniowych należących do ${\displaystyle \mathbb {L} [x],}$ ale nie do ${\displaystyle \mathbb {K} [x].}$ Weźmy dowolny endomorfizm ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {G} }$ i zauważmy, że wielomian ${\displaystyle f}$ przyjmuje w punkcie ${\displaystyle \varphi (a)}$ wartość ${\displaystyle 0}$ (jest tak, ponieważ ${\displaystyle f(\varphi (a))=\varphi (f(a))=\varphi (0)=0}$). Tak więc ${\displaystyle \varphi (a)}$ jest pierwiastkiem wielomianu ${\displaystyle f,}$ a zbiór ${\displaystyle \{\varphi (a)\colon \varphi \in \mathbb {G} \}}$ jest skończony. To znaczy, że dla danego ${\displaystyle a}$ istnieć może jedynie skończona liczba różnych ${\displaystyle \varphi (a)}$ pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów. Oznaczmy te elementy jako ${\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}.}$ Zauważmy, że dowolny automorfizm ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {G} }$ przekształca dowolny zbiór skończony w siebie, w szczególności: ${\displaystyle \{\varphi _{i}(a)\}_{i=1}^{n}=\{\varphi (\varphi _{i}(a))\}_{i=1}^{n}.}$ Niech będzie dany wielomian ${\displaystyle g(x)=\prod \limits _{j=1}^{n}(x-\varphi _{j}(a)),}$ wtedy ${\displaystyle \varphi (g(x))=\prod \limits _{j=1}^{n}(x-\varphi (\varphi _{j}(a))).}$ Ponieważ wspomniane dwa zbiory są równe, to każdy z tych wielomianów składa się z dokładnie tych samych czynników (różniących się tylko kolejnością), a stąd wynika równość wielomianów: ${\displaystyle \varphi (g)=g.}$ Tak więc dowolnie wybrany automorfizm ${\displaystyle \varphi }$ nie zmienia wielomianu ${\displaystyle g.}$ Wobec tego współczynniki tego wielomianu należą do ciała ${\displaystyle \mathbb {L^{G}} .}$ Sam wielomian ${\displaystyle g}$ należy w takim razie do pierścienia ${\displaystyle \mathbb {K} [x].}$ Wybrano go tak, że ma on wyłącznie pierwiastki jednokrotne i to będące zarazem pierwiastkami ${\displaystyle f.}$ Wynika stąd, że wielomian ${\displaystyle g}$ dzieli wielomian ${\displaystyle f.}$ Nierozkładalny wielomian ${\displaystyle f}$ musi być więc równy iloczynowi wielomianu ${\displaystyle g}$ oraz pewnego niezerowego elementu ciała ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ Stąd wnioskujemy, że ${\displaystyle f}$ stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia ${\displaystyle \mathbb {L} [x]}$^[1].

„${\displaystyle \Longleftarrow }$”

Udowodnimy, że rozszerzenie normalne i rozdzielcze jest rozszerzeniem Galois. Z założenia, dla ${\displaystyle a\in \mathbb {L} }$ wielomian ${\displaystyle f\in \mathbb {K} [x],}$ dla którego ${\displaystyle a}$ jest pierwiastkiem, stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia ${\displaystyle \mathbb {L} [x].}$ Niech ${\displaystyle a\not \in \mathbb {K} .}$ Wtedy rozpatrywany wielomian ${\displaystyle f}$ jest stopnia silnie większego od 1, wobec czego posiada on jeszcze jeden inny pierwiastek ${\displaystyle b\in \mathbb {L} .}$ Musi więc istnieć homomorfizm pomiędzy rozszerzeniami ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {K} (a)\to \mathbb {K} (b)}$ przekształcający ${\displaystyle a}$ w ${\displaystyle b,}$ będący ${\displaystyle \mathbb {K} }$-izomorfizmem. Da się go rozszerzyć do ${\displaystyle \mathbb {K} }$-izomorfizmu ${\displaystyle \psi \colon {\mbox{alg}}(\mathbb {K} )\rightarrow {\mbox{alg}}(\mathbb {K} ),}$ gdzie ${\displaystyle {\mbox{alg}}(\mathbb {K} )}$ jest zbiorem wszystkich elementów algebraicznych względem ciała ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ Izomorfizm ten przekształca ciało ${\displaystyle \mathbb {L} }$ na siebie (stanowi jego ${\displaystyle \mathbb {K} }$-automorfizm), a restrykcja ${\displaystyle \psi {\big |}_{\mathbb {L} }\in {\mbox{Gal}}\mathbb {(L/K)} .}$ W dalszym ciągu przekształca on ${\displaystyle a}$ w różne od niego ${\displaystyle b.}$ Wynika stąd, że dowolny element należący do ${\displaystyle \mathbb {L} ,}$ ale nie do ${\displaystyle \mathbb {K} }$ nie jest zachowywany przez wszystkie automorfizmy grupy ${\displaystyle {\mbox{Gal}}\mathbb {(L/K)} .}$ Inaczej mówiąc, ${\displaystyle \mathbb {L} ^{\operatorname {Gal} \mathbb {(L/K)} }=\mathbb {K} .}$ q.e.d.^[1]

Wynika stąd także, że w przypadku ciała doskonałego jego rozszerzenie jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem Galois. Z kolei dane ciało posiada swoje skończone rozszerzenie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie to będzie ciałem rozkładu dla pewnego wielomianu o współczynnikach z wyjściowego ciała, posiadającego pierwiastki jednokrotne. Ten ostatni wniosek wynika z tego, że rozszerzenia o podanych właściwościach muszą być skończone, normalne i rozdzielcze^[3].

Przypisy

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.