Teoria obliczeń

Artystyczna reprezentacja Maszyny Turinga, jednego z modeli obliczeń

Teoria obliczeń – dział informatyki i matematyki, który dzieli się na: teorię automatów i języków formalnych, teorię obliczalności oraz teorię złożoności. Teoria automatów zajmuje się definicjami i własnościami modeli obliczeń (modelami maszyn liczących). W uproszczeniu zajmuje się ona odpowiedzią na pytanie czym jest komputer, teoria obliczalności odpowiedzią na pytanie, które problemy dają się rozwiązać przy pomocy komputera, a teoria złożoności – odpowiedzą na pytanie jakim kosztem (czasowym i pamięciowym) da się to zrobić^[1].

Modele obliczeń stosuje się w praktyce, na przykład model zwany automatem skończonym jest wykorzystywany w architekturze komputerów, budowie kompilatorów i w przetwarzaniu tekstu (przetwarzanie języka naturalnego, synteza mowy). Inny model, nazywany gramatyką bezkontekstową, jest używany przy projektowaniu języków programowania i sztucznej inteligencji^[1].

Najogólniejszym modelem obliczeń jest maszyna Turinga. Można ją rozumieć jako komputer o nieograniczonych zasobach pamięci. Inne używane modele, takie jak: rachunek lambda, rachunek kombinatorów, algorytmy Markowa, funkcje rekurencyjne są sobie równoważne w tym sensie, że wszystko co jest obliczalne na jednym z nich, da się też obliczyć na maszynie Turinga. Rozważa się również węższe modele tzn. takie, które nie pozwalają na wyrażenie dowolnej funkcji obliczalnej, np. funkcje pierwotnie rekurencyjne. O niektórych problemach związanych z modelami obliczeń wiadomo, że są nierozstrzygalne. Na przykład nie istnieje algorytm, który rozstrzyga czy dwa λ-wyrażenia są równoważne lub czy maszyna Turinga dla danego wejścia zatrzyma się (zob. problem stopu). Podstawowym obiektem badań teorii obliczalności są funkcje obliczalne. Problem P vs NP jest określany jako najważniejszy nierozwiązany problem matematyczny w informatyce.

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b MichaelM. Sipser MichaelM., Wprowadzenie do teorii obliczeń .

Linki zewnętrzne

Mathematical theory of computation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

informatyka teoretyczna

główne obszary	teoria informacji i kodowania algorytmy i struktury danych teoria i modele obliczeń
wybrane zagadnienia	informacja problem obliczeniowy heurystyka teoria obliczalności teoria automatów język formalny system formalny teoria typów teoria języków programowania paradygmat programowania geometria obliczeniowa złożoność obliczeniowa obliczenia równoległe obliczenia rozproszone kryptologia informatyka kwantowa algorytm kwantowy

Podstawy matematyki

logika matematyczna	algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów
metamatematyka	metalogika
teoria mnogości	opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF
teoria obliczeń	teoria obliczalności teoria złożoności
inne	teoria kategorii filozofia matematyki

Działy matematyki

działy
ogólne

według trudności	matematyka elementarna matematyka wyższa
według celu	matematyka czysta matematyka stosowana
inne	matematyka doświadczalna matematyka parakonsystentna supermatematyka

działy
czyste

algebra	elementarna liniowa i wieloliniowa abstrakcyjna algebra przemienna algebra lokalna teoria Galois różniczkowa teoria Galois teoria grup geometryczna teoria grup teoria Liego homologiczna różniczkowa uniwersalna teoria reprezentacji
analiza matematyczna	analiza algebraiczna analiza funkcjonalna teoria spektralna analiza geometryczna analiza globalna analiza harmoniczna analiza mikrolokalna analiza na rozmaitościach analiza niestandardowa analiza numeryczna nomografia analiza p-adyczna analiza rzeczywista analiza wektorowa analiza wielowymiarowa analiza wypukła analiza zespolona rachunek różniczkowy i całkowy rachunek wariacyjny teoria dystrybucji teoria miary teoria potencjału
arytmetyka	elementarna teoretyczna lub wyższa, in. teoria liczb algebraiczna algorytmiczna analityczna elementarna geometryczna teoria sit
geometria	absolutna afiniczna algebraiczna analityczna arytmetyczna diofantyczna dyskretna euklidesowa planimetria stereometria fraktalna inwersyjna kombinatoryczna konforemna metryczna nieeuklidesowa eliptyczna hiperboliczna sferyczna nieprzemienna obliczeniowa różniczkowa symplektyczna rzutowa skończona syntetyczna tropikalna uporządkowania wykreślna zespolona trygonometria sferyczna
matematyka dyskretna	kombinatoryka teoria Ramseya teoria grafów algebraiczna geometryczna spektralna topologiczna
podstawy	logika matematyczna algebraiczna mereologia rachunek zdań teoria dowodu teoria modeli teoria rekursji teoria typów metamatematyka metalogika teoria kategorii teoria mnogości opisowa arytmetyka liczb kardynalnych arytmetyka liczb porządkowych teoria PCF teoria obliczeń teoria obliczalności teoria złożoności
teoria układów dynamicznych	teoria chaosu teoria katastrof teoria ergodyczna
topologia	algebraiczna teoria homotopii geometryczna mnogościowa ogólna różniczkowa teoria Morse’a teoria położenia teoria węzłów teoria warkoczy teoria wymiaru
pozostałe	K-teoria probabilistyka rachunek różnicowy teoria osobliwości teoria porządku teoria punktu stałego

działy
stosowane

nauki przyrodnicze	biomatematyka chemia matematyczna fizyka matematyczna
nauki społeczne	ekonomia matematyczna lingwistyka matematyczna matematyka finansowa matematyka ubezpieczeniowa psychologia matematyczna socjologia matematyczna teoria głosowań
nauki techniczne	kryptologia teoria informacji teoria kolejek teoria sterowania
statystyka matematyczna	rachunek wyrównawczy statystyka nieparametryczna teoria estymacji
inne	teoria gier teoria decyzji