Trójkąty podobne

Trójkąty podobne – dwa trójkąty, których odpowiednie boki są parami proporcjonalne, tzn. gdy można dobrać oznaczenia dla wierzchołków w pierwszym i drugim trójkącie odpowiednio: ${\displaystyle A,B,C}$ oraz ${\displaystyle A',B',C'}$ tak, aby

${\displaystyle {\frac {A'B'}{AB}}={\frac {B'C'}{BC}}={\frac {C'A'}{CA}}=s,}$

gdzie ${\displaystyle s}$ jest pewną ${\displaystyle (s\neq 0)}$ liczbą zwaną skalą podobieństwa trójkąta ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ względem ${\displaystyle \Delta ABC.}$

Jest to szczególny przypadek podobieństwa dwóch figur.

Podobieństwo trójkątów o ustalonych nazwach wierzchołków symbolicznie zapisujemy ${\displaystyle \Delta A'B'C'\sim \Delta ABC}$ i czytamy, że ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ jest podobny do ${\displaystyle \Delta ABC.}$

Oczywiście tak zdefiniowane podobieństwo trójkątów jest relacją między dwiema figurami niezależną od sposobu i kolejności oznaczania ich wierzchołków. Czyli jeśli ${\displaystyle \Delta A'B'C'\sim \Delta ABC,}$ to także np. ${\displaystyle \Delta B'A'C'\sim \Delta ACB}$ oraz ${\displaystyle \Delta C'B'A'\sim \Delta BCA.}$ Oznacza to, że w napisie ${\displaystyle \Delta A'B'C'}$ układ liter ${\displaystyle A'B'C'}$ wygodnie jest rozumieć jako zbiór wierzchołków, a nie uporządkowany ciąg wierzchołków.

W ujęciu kleinowskiej teorii niezmienników grupy podobieństw problem (pozornie) upraszcza się, bowiem tam postuluje się istnienie pewnego podobieństwa (czyli funkcji) przenoszącego jeden trójkąt na drugi i wierzchołki obu trójkątów nie muszą być oznaczane.

Relacja podobieństwa w zbiorze trójkątów jest równoważnością.

Jeśli trójkąty są podobne, to:

• wszystkie szczególne odcinki jednego trójkąta (wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych, promienie kół: opisanego i wpisanego itp.) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiego trójkąta w tej samej skali ${\displaystyle s,}$
• stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)

Trójkąty są podobne, jeśli zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:

1. Cecha bbb (bok-bok-bok) – stosunki długości odpowiednich par boków (z definicji) są równe,
2. Cecha bkb (bok-kąt-bok) – stosunki długości dwóch par boków równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
3. Cecha kkk (kąt-kąt-kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów (tu wystarczy równość dwóch par kątów, czyli cecha kk, bo miary kątów trzeciej pary muszą być równe, gdyż suma miar kątów trójkąta jest równa 180°).

Podobieństwo w innych geometriach

Podobieństwo ze wszystkimi jego własnościami występuje jedynie w geometrii euklidesowej. W geometriach eliptycznej i hiperbolicznej równość odpowiednich trzech kątów oznacza równość odpowiednich boków. Sprowadza się to do przystawania trójkątów. I odwrotnie – dla dowolnych dwóch trójkątów, w których długości boków w jednym są różne, ale proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, równości kątów nie są zachowane. Nie będą zachowane także m.in. proporcje wysokości, proporcje środkowych itd.

Ogólnie – podobieństwo jako funkcja zachowująca stosunki odległości dowolnych dwóch punktów w tych geometriach sprowadza się do izometrii.

Zastosowania

Podobieństwo trójkątów ma liczne zastosowania praktyczne i teoretyczne. Oto kilka z nich.

Pomiar wysokości piramidy

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij, czym wprawił w zdumienie kapłanów. Oto jak mógł tego dokonać.

Ponieważ trójkąty ${\displaystyle OAA'}$ i ${\displaystyle OBB'}$ są podobne zachodzi proporcja: ${\displaystyle {\frac {|OA|}{|AA'|}}={\frac {|OB|}{|BB'|}}}$ skąd ${\displaystyle |BB'|={\frac {|AA'|\cdot |OB|}{|OA|}}.}$
Znając ${\displaystyle |AA'|}$ – długość kija, mierząc ${\displaystyle |OA|}$ – długość jego cienia i ${\displaystyle |OB|}$ – długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość.

Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.

Prawdopodobnie jednak Tales wykorzystał prostszy sposób – wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał do chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Pomiar odległości statku od brzegu

Nieco inne rozumowanie pozwala obliczyć odległość statku znajdującego się na horyzoncie.

Z podobieństwa trójkątów ${\displaystyle OA'B'}$ i ${\displaystyle OAB}$ mamy: ${\displaystyle {\frac {|OA'|}{|A'B'|}}={\frac {|OA|}{|AB|}},}$ czyli ${\displaystyle {\frac {|x+AA'|}{|A'B'|}}={\frac {x}{|AB|}}}$ skąd ${\displaystyle x={\frac {|AA'|\cdot |AB|}{|A'B'|-|AB|}}.}$

Mierząc długości odcinków występujących w tej równości, wyznaczamy ${\displaystyle x.}$

Zobacz też

• figury podobne