Twierdzenie Bourbakiego-Witta o punkcie stałym

Twierdzenie Bourbakiego-Witta o punkcie stałym – twierdzenie teorii porządków mówiące, że jeżeli ( X , ⩽ ) {\displaystyle (X,\leqslant )} jest zbiorem częściowo uporządkowanym w którym każdy łańcuch ma kres górny, to każda funkcja f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} spełniająca warunek

x ⩽ f ( x ) {\displaystyle x\leqslant f(x)} dla każdego x ∈ X {\displaystyle x\in X}

ma punkt stały, to znaczy istnieje taki element x ∗ {\displaystyle x_{*}} w zbiorze X , {\displaystyle X,} że

f ( x ∗ ) = x ∗ . {\displaystyle f(x_{*})=x_{*}.}

Korzystając z twierdzenia Bourbakiego-Witta (i aksjomatu wyboru), można udowodnić twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym i lemat Kuratowskiego-Zorna. Twierdzenie to udowodnili niezależnie Nicolas Bourbaki[1] i Ernst Witt[2].

Przypisy

  1. ↑ Nicolas Bourbaki. Sur le théorème de Zorn. „Archiv der Mathematik”. 2:6, s. 434–437, 1949. 
  2. ↑ Ernst Witt. Beweisstudien zum Satz von M. Zorn. „Mathematische Nachrichten”. 4, s. 434–438, 1951. 

Bibliografia

  • Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 29–30. ISBN 978-83-01-15232-1.