Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.

Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.

Twierdzenie

Niech

(a) ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych

(b) ${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.

${\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x,y\in X,}$

${\displaystyle p(\alpha x)=\alpha p(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$ i ${\displaystyle x\in X,}$

(c) ${\displaystyle M}$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle X}$

(d) ${\displaystyle \varphi \colon M\to {\mathbb {R} }}$ będzie takim odwzorowaniem liniowym, że

${\displaystyle \varphi (x)\leqslant p(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in M.}$

Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy ${\displaystyle \Phi \colon X\to \mathbb {R} ,}$ że

${\displaystyle \Phi (x)=\varphi (x)}$

dla wszystkich ${\displaystyle x\in M}$ oraz

${\displaystyle \Phi (x)\leqslant p(x)}$

dla wszelkich ${\displaystyle x\in X.}$

Uwagi o dowodzie

• Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
• Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
• Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.

Wnioski

Ten artykuł należy dopracować: Zasugerowano, aby sekcja Twierdzenie z artykułu Twierdzenie o oddzielaniu została zintegrowana z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał ${\displaystyle p\colon X\to \mathbb {R} }$ spełnia warunek (b), to dla każdego ${\displaystyle x_{0}\in X}$ istnieje taki funkcjonał liniowy ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ,}$ że ${\displaystyle f(x_{0})=p(x_{0})}$ oraz ${\displaystyle f(x)\leqslant p(x)}$ dla ${\displaystyle x\in X.}$
• Załóżmy, że

(a) ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {K} }$ liczb rzeczywistych lub zespolonych, a ${\displaystyle p\colon X\longrightarrow [0,\infty )}$ jest półnormą

(b) ${\displaystyle M\subseteq X}$ jest podprzestrzenią liniową, oraz ${\displaystyle \varphi _{0}\colon M\to \mathbb {K} }$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

${\displaystyle |\varphi _{0}(x)|\leqslant p(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in M.}$

Wówczas istnieje funkcjonał liniowy ${\displaystyle \varphi \colon X\to \mathbb {K} }$ taki, że ${\displaystyle \varphi |_{M}=\varphi _{0}}$ oraz

${\displaystyle |\varphi (x)|\leqslant p(x)}$ dla wszystkich ${\displaystyle x\in X.}$

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią unormowaną, ${\displaystyle M}$ jest jej podprzestrzenią liniową oraz ${\displaystyle x^{*}\in M^{*},}$ to istnieje ${\displaystyle y^{*}\in X^{*}}$ taki, że

${\displaystyle y^{*}|_{M}=x^{*}}$ oraz ${\displaystyle \|x^{*}\|=\|y^{*}\|.}$

• Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli ${\displaystyle X}$ jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz ${\displaystyle x\in X\setminus \{0\},}$ to ${\displaystyle \|x\|=x^{*}x}$ dla pewnego ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ takiego, że ${\displaystyle \|x^{*}\|=1.}$ Ponadto

${\displaystyle \|x\|=\sup {\big \{}|x^{*}x|:x^{*}\in X^{*},\|x^{*}\|=1{\big \}}.}$

• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią unormowaną, ${\displaystyle M}$ jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz ${\displaystyle x\in X\setminus M,}$ to istnieje ${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$ taki, że

${\displaystyle x^{*}x=1,\;x^{*}|_{M}\equiv 0}$ oraz ${\displaystyle \|x^{*}\|={\tfrac {1}{\mathrm {dist} (x,M)}}.}$

• Twierdzenia o oddzielaniu.
• Stosując twierdzenie Hahna-Banacha, można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.

Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha

Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:

Twierdzenie Krejna

Niech ${\displaystyle P}$ będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej ${\displaystyle X}$ o niepustym wnętrzu. Jeżeli ${\displaystyle M}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle \varphi _{0}\colon M\to \mathbb {R} }$ jest funkcjonałem liniowym takim, że

${\displaystyle \varphi _{0}(M\cap P)\subseteq [0,\infty ),}$

to istnieje funkcjonał liniowy ${\displaystyle \varphi \colon X\to \mathbb {R} }$ taki, że

${\displaystyle \varphi |_{M}=\varphi _{0}}$

oraz

${\displaystyle \varphi (P)\subseteq [0,\infty ).}$

Zobacz też

• twierdzenie Krejna-Milmana
• twierdzenie o rozszerzaniu miary

Przypisy

Bibliografia

• William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
• Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
• Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.