Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)
Ten artykuł dotyczy rachunku różniczkowego. Zobacz też: inne twierdzenia Lagrange’a. |
Twierdzenie Lagrange’a – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym; jest to uogólnienie twierdzenia Rolle’a oraz szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego i twierdzenia Taylora[1].
Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Josepha Louisa Lagrange’a, który podał je i udowodnił w 1797 roku[1].
Twierdzenie
Jeśli dana funkcja jest
- ciągła w przedziale
- różniczkowalna w przedziale
to istnieje taki punkt że:
Interpretacje
W języku geometrii twierdzenie Lagrange’a mówi o tym, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i
współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie wynosi Na mocy twierdzenia Lagrange’a jest on równy
Z kolei teza twierdzenia Lagrange’a zapisana w postaci iloczynowej
wskazuje na to, że przyrost wartości funkcji dla argumentów i wyraża się przez przyrost wartości zmiennej (argumentów) i pochodną funkcji w pewnym punkcie pośrednim między i – stąd właśnie nazwa twierdzenia.
Dowód
Załóżmy, że:
Mamy wtedy:
oraz
A więc:
- czyli funkcja spełnia założenia twierdzenia Rolle’a, a zatem istnieje punkt taki, że z drugiej strony mamy i stąd otrzymujemy Dlatego też
Historia
Pierwszy przykład zastosowania został opisany przez Parameśwarę (1380–1460), z keralskiej szkoły astronomii i matematyki, w jego komentarzach do Gowindśwvāminiego i Bhaskaraćarji[potrzebny przypis]. W 1691 roku Michel Rolle udowodnił prostszą postać tego twierdzenia dla wielomianów (nie powołując się na metody rachunku różniczkowego); dziś szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a znany jest właśnie jako twierdzenie Rolle’a. Twierdzenie Lagrange’a we współczesnej postaci i pełnej ogólności zostało postawione i udowodnione przez Augustina Louisa Cauchego w 1823 roku.
Uogólnienie
Dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach wektorowych (a nawet w dla ) teza twierdzenia nie jest spełniona. Na przykład linia śrubowa (traktowana jako wykres funkcji ) podczas jednego obrotu nie ma w żadnym momencie pochodnej zerowej, a powraca do swojej wartości (na osiach x,y).
Dla funkcji różniczkowalnej o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha spełniona jest nierówność:
Dowód polega na wykazaniu, że dla liczby i każdego ograniczenia górnego normy pochodnej na przedziale to jest kresem górnym zbioru końców przedziału, dla których spełniona jest teza, gdy zastąpić w niej przez i supremum przez ograniczenie górne. Wystarczy wtedy zauważyć, że nierówność pozostanie prawdziwa zastąpiwszy ograniczenie kresem, a ponadto może być dowolnie mała dzięki ciągłości funkcji
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 196. ISBN 83-01-02175-6.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2015-02-20] (ang.).
- Finite-increments formula (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-06-20].
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- Britannica: topic/mean-value-theorem