Twierdzenie Plancherela

Twierdzenie Plancherela – twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku[1]. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie F : L 2 → L 2 {\displaystyle F:L^{2}\to L^{2}} o następujących własnościach:

  • dla f ∈ L 1 ∩ L 2 , {\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2},} jest F ( f ) = f ^ ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle F(f)={\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx}
  • dla dowolnej f {\displaystyle f} jest ‖ f ‖ 2 = ‖ f ^ ‖ 2 {\displaystyle \|f\|_{2}=\|{\hat {f}}\|_{2}}
  • F {\displaystyle F} jest izometrią przestrzeni L 2 {\displaystyle L^{2}} na siebie
  • jeśli φ A ( ω ) = 1 2 π ∫ − A A f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle \varphi _{A}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx} oraz ϑ A ( x ) = 1 2 π ∫ − A A f ^ ( x ) e i ω x d ω , {\displaystyle \vartheta _{A}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-A}^{A}{\hat {f}}(x)\,e^{i\omega x}\,d\omega ,}

to ‖ φ A − f ^ ‖ 2 → 0 {\displaystyle \|\varphi _{A}-{\hat {f}}\|_{2}\to 0} oraz ‖ ϑ A − f ‖ 2 → 0 {\displaystyle \|\vartheta _{A}-f\|_{2}\to 0} przy A → ∞ . {\displaystyle A\to \infty .}

Przekształcenie F {\displaystyle F} określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni L 2 . {\displaystyle L^{2}.} Na podprzestrzeni L 1 ∩ L 2 {\displaystyle L^{1}\cap L^{2}} jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą L 2 . {\displaystyle L^{2}.}

Zobacz też

  • przestrzeń Lp

Przypisy

  1. ↑ Plancherel, Michel (1910) „Contribution a l’etude de la representation d’une fonction arbitraire par les integrales définies,” Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 30, s. 298–335.

Bibliografia

  • Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1996. ISBN 83-01-05124-8.
  • Kôsaku Yoshida: Functional Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.