Wielościan foremny

Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi oraz wszystkie kąty wielościenne są równe^[1].

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Nazwa	Nazwa grecka	Grafika	Ściana	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Kąt dwuścienny
czworościan	tetraedr		trójkąt foremny (równoboczny)	4	6	4	${\displaystyle \arcsin {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 70{,}529^{\circ }}$
sześcian	heksaedr		czworokąt foremny (kwadrat)	6	12	8	${\displaystyle 90^{\circ }.}$
ośmiościan	oktaedr		trójkąt foremny (równoboczny)	8	12	6	${\displaystyle 2\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 109{,}471^{\circ }}$
dwunastościan	dodekaedr		pięciokąt foremny	12	30	20	${\displaystyle \arccos {(}{-}{\frac {\sqrt {5}}{5}}{)}\approx 116{,}565^{\circ }}$
dwudziestościan	ikosaedr		trójkąt foremny (równoboczny)	20	30	12	${\displaystyle \arccos {(}{-}{\frac {\sqrt {5}}{3}}{)}\approx 138{,}189^{\circ }}$

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

ściana	kąt wewnętrzny ściany	liczba ścian przy wierzchołku ≥3	wielokrotność kąta <360°	nazwa	uwagi
trójkąt	60°	3	180°	czworościan foremny
		4	240°	ośmiościan foremny
		5	300°	dwudziestościan foremny	ostatni z tej serii, bo 6·60°≥360°
kwadrat	90°	3	270°	sześcian	jedyny z tej serii, bo 4·90°≥360°
pięciokąt	108°	3	324°	dwunastościan foremny	jedyny z tej serii, bo 4·108°≥360°
sześciokąt i następne	≥120°	3	≥360°	–	żaden z tej i następnych serii, bo 3·120°≥360°

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

${\displaystyle W+S=K+2,}$

gdzie ${\displaystyle W}$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, ${\displaystyle S}$ liczbę jego ścian, a ${\displaystyle K}$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

${\displaystyle S\cdot n=2K.}$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi ${\displaystyle l}$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

${\displaystyle W\cdot l=2K.}$

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności ${\displaystyle W}$ i ${\displaystyle S}$

${\displaystyle W={\frac {2K}{l}};S={\frac {2K}{n}}}$

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

${\displaystyle {\frac {2K}{l}}+{\frac {2K}{n}}=K+2.}$

Przekształcając otrzymamy kolejno

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{K}}>{\frac {1}{2}},}$

oraz

${\displaystyle (n-2)(l-2)<4.}$

Ponieważ ${\displaystyle l\geqslant 3}$ oraz ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

${\displaystyle (n-2)\cdot (l-2)}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle l}$	nazwa
1·1	3	3	czworościan foremny
2·1	4	3	sześcian
1·2	3	4	ośmiościan foremny
1·3	3	5	dwudziestościan foremny
3·1	5	3	dwunastościan foremny

Oczywiście znając ${\displaystyle n,l}$ można wyznaczyć ${\displaystyle W,K,S,}$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności ${\displaystyle S\cdot n=2K}$ oraz ${\displaystyle W\cdot l=2K.}$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle l.}$

Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa^[a] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata^[2].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn^[b]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Nazwa	Liczba ścian trójwymiarowych (brył foremnych)	Liczba ścian dwuwymiarowych (wielokątów foremnych)	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Wielokomórka dualna
foremna 5-komórka (4-wymiarowy sympleks)	5 czworościanów	10 trójkątów	10	5	samodualna
foremna 8-komórka (4-wymiarowy hipersześcian)	8 sześcianów	24 kwadratów	32	16	16-komórka
foremna 16-komórka	16 czworościanów	32 trójkątów	24	8	8-komórka
foremna 24-komórka	24 ośmiościanów	96 trójkątów	96	24	samodualna
foremna 120-komórka	120 dwunastościanów	720 pięciokątów	1200	600	600-komórka
foremna 600-komórka	600 czworościanów	1200 trójkątów	720	120	120-komórka

Dla dowolnego naturalnego ${\displaystyle n>4}$ udowodniono, że w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne^[3]:

Nazwa	Liczba (n-1)-wymiarowych ścian	Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1	Wielokomórka dualna
n-wymiarowy sympleks foremny	${\displaystyle n+1}$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${\displaystyle n+1 \choose k+1}$ k-wymiarowych sympleksów	samodualna
n-wymiarowy hipersześcian	${\displaystyle 2n}$ (n-1)-wymiarowych hipersześcianów	${\displaystyle {n \choose k}2^{n-k}}$ k-wymiarowych hipersześcianów	2n-komórka
n-wymiarowa 2n-komórka foremna	${\displaystyle 2^{n}}$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${\displaystyle {n \choose k+1}2^{k+1}}$ k-wymiarowych sympleksów	hipersześcian

Można też rozpatrywać przypadki ${\displaystyle n<3.}$ „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego ${\displaystyle \ell \geqslant 3}$ istnieje ${\displaystyle \ell }$-kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.

Zobacz też

• węglowodory platońskie

Uwagi

Zobacz hasło bryła platońska w Wikisłowniku

Zobacz multimedia związane z tematem: Wielościan foremny

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Platonic Solid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].