Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne, zwyczajowo wzór matematyczny – syntaktycznie wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań ( + ,   − ,   ⋅ ,   : , {\displaystyle +,\ -,\ \cdot ,\ \colon ,} potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej[1].

Semantycznie wyrażenie algebraiczne, jako wyrażenie dobrze zbudowane w języku algebry, jest zapisem pewnego algorytmu złożonego z elementarnych działań dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania[2] (pierwiastkowanie sprowadza się do potęgowania).

Najprostsze wyrażenia algebraiczne są to pojedyncze stałe (np. 5) oraz zmienne (np. x), bardziej skomplikowane to m.in. jednomiany (np. 3 x 2 y 3 {\displaystyle 3x^{2}y^{3}} ), dwumiany (np. 3 x 2 y + x y 3 {\displaystyle 3x^{2}y+xy^{3}} ), wielomiany (np. 2 a 3 + 5 a 2 − a b + 8 {\displaystyle 2a^{3}+5a^{2}-ab+8} ), zapisy typu y x {\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}} czy

x + y + 2 x y x − y . {\displaystyle {\frac {\sqrt {x+y+2{\sqrt {xy}}}}{x-y}}.}

Nie są natomiast wyrażeniami algebraicznymi zapisy złożone z symboli algebraicznych, ale pozbawione sensu, np. a + ⋅ ( , {\displaystyle ^{a}+\cdot (,} wyrażenia w których uczestniczą symbole funkcji, np. sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} albo relacji[3], np. a = b . {\displaystyle a=b.} Na ogół zakłada się, że wyrażenia algebraiczne mają skończoną długość[2], nie jest więc wyrażeniem algebraicznym np. ułamek łańcuchowy:

2 + 4 3 + 1 ⋅ 3 4 + 3 ⋅ 5 4 + 5 ⋅ 7 4 + … . {\displaystyle 2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\dots }}}}}}}}.}

Niektórzy autorzy wymagają, aby stałe w wyrażeniu algebraicznym były liczbami algebraicznymi[4].

Jeśli w wyrażeniu algebraicznym nie występuje potęgowanie o niecałkowitym wykładniku (czyli także pierwiastkowanie stopnia innego niż 1 k , k ∈ Z ∖ { 0 } {\displaystyle {\tfrac {1}{k}},k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}} ), to jest ono wyrażeniem wymiernym. W przeciwnym wypadku jest wyrażeniem niewymiernym[5].

W informatyce stosowane jest zbliżone (nieco szersze) pojęcie wyrażenia arytmetycznego[6]. Inni zaś uważają, że wyrażenie matematyczne niezawierające zmiennych to wyrażenie arytmetyczne, a zawierające zmienne to wyrażenie algebraiczne[3].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 155.
  2. ↑ a b Dictionary of Scientific and Technical Terms: algebraic expression. Wyd. 6. McGraw-Hill.
  3. ↑ a b David L. Heiserman: Pre-algebra Chapter 8 Expressions and Equations. [dostęp 2009-06-17].
  4. ↑ Eric W. Weisstein: CRC concise encyclopedia of mathematics. Wyd. 2. CRC Press, 2003, s. 48. ISBN 1-58488-347-2, ISBN 978-1-58488-347-0.
  5. ↑ Słownik encyklopedyczny – matematyka. Wydawnictwo Europa, 1998, s. 316. ISBN 83-85336-06-0.
  6. ↑ Encyklopedia szkolna – matematyka. Warszawa: WSiP, 1990, s. 323.
Kontrola autorytatywna (notacja matematyczna):
  • BNCF: 13386
  • NKC: ph135400
  • LNB: 000128445
Encyklopedia internetowa:
  • Britannica: topic/formula-logic
  • SNL: formel_-_matematikk