Wzór całkowy Cauchy’ego

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że ${\displaystyle U}$ jest zbiorem otwartym zawartym w ${\displaystyle \mathbf {C} }$ oraz ${\displaystyle f\colon U\to \mathbf {C} }$ jest funkcją holomorficzną, a koło ${\displaystyle D=\{z:|z-z_{0}|\leqslant r\}}$ zawiera się w ${\displaystyle U.}$ Niech ${\displaystyle \gamma }$ będzie okręgiem tworzącym brzeg ${\displaystyle D.}$ Wówczas dla każdego ${\displaystyle a}$ należącego do wnętrza ${\displaystyle D}$ zachodzi^[1]:

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz,}$

gdzie krzywa ${\displaystyle \gamma }$ jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia

Rozważmy funkcję

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}$

oraz kontur ${\displaystyle C,}$ opisany zależnością: ${\displaystyle |z|=2.}$

Aby znaleźć całkę ${\displaystyle f(z)}$ po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji ${\displaystyle f(z).}$ Funkcję ${\displaystyle f}$ możemy zapisać:

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$ gdzie ${\displaystyle z_{1}=-1+i,\quad z_{2}=-1-i.}$

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów ${\displaystyle z_{1}}$ i ${\displaystyle z_{2},}$ gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury ${\displaystyle C_{1}}$ wokół ${\displaystyle z_{1}}$ oraz ${\displaystyle C_{2}}$ wokół ${\displaystyle z_{2}.}$

Zatem w ${\displaystyle C_{1}}$ zdefiniowana poniżej funkcja ${\displaystyle g_{1}}$ jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu ${\displaystyle z_{2}}$).

${\displaystyle g_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}}$

dlatego:

${\displaystyle \oint \limits _{C_{1}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}\right)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}$

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

${\displaystyle g_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}}$

${\displaystyle \oint \limits _{C_{2}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}\right)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}$

Całka po obszarze ${\displaystyle C}$ jest sumą dwóch powyższych całek:

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint \limits _{C}{\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}\,dz&=\oint \limits _{C_{1}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}\right)}{z-z_{1}}}\,dz+\oint \limits _{C_{2}}{\frac {\left({\frac {z^{2}}{z-z_{1}}}\right)}{z-z_{2}}}\,dz\\[1ex]&=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[1ex]&=2\pi i(-2)\\[1ex]&=-4\pi i.\end{aligned}}}$

Zobacz też

• Augustin Louis Cauchy
• twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Przypisy