Matriz nilpotente

Em álgebra linear, uma matriz nilpotente é uma matriz quadrada N tal que

N k = 0 {\displaystyle N^{k}=0}

para algum número inteiro positivo k . {\displaystyle k.} O menor valor k {\displaystyle k} satisfazendo a condição anterior é chamado de índice de N , {\displaystyle N,} [1] e às vezes de grau de N . {\displaystyle N.}

Mais geralmente, uma transformação nilpotente é uma transformação linear L {\displaystyle L} de um espaço vetorial tal que L k = 0 {\displaystyle L^{k}=0} para algum número inteiro positivo k {\displaystyle k} (e assim, L j = 0 {\displaystyle L^{j}=0} para todo j ≥ k {\displaystyle j\geq k} )[2][3][4] Ambos os conceitos são casos especiais de um conceito mais geral de nilpotência que se aplica a elementos de anéis.

Exemplos

Exemplo 1

A matriz

A = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}

é nilpotente com índice 2, uma vez que A 2 = 0. {\displaystyle A^{2}=0.}

Exemplo 2

Mais geralmente, qualquer matriz triangular de ordem n {\displaystyle n} com zeros ao longo da diagonal principal é nilpotente, com índice ≤ n . {\displaystyle \leq n.} Por exemplo, a matriz

B = [ 0 2 1 6 0 0 1 2 0 0 0 3 0 0 0 0 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}

é nilpotente, com

B 2 = [ 0 0 2 7 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ;   : B 3 = [ 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ;   : B 4 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ :B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ :B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}

O índice de B {\displaystyle B} é, portanto, igual 4.

Exemplo 3

Embora os exemplos acima tenham um grande número de entradas nulas, uma matriz nilpotente típica não tem. Por exemplo,

C = [ 5 − 3 2 15 − 9 6 10 − 6 4 ] C 2 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}

embora a matriz não tenha entradas nulas.

Exemplo 4

Além disso, quaisquer matrizes da forma

[ a 1 a 1 ⋯ a 1 a 2 a 2 ⋯ a 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − a 1 − a 2 − … − a n − 1 − a 1 − a 2 − … − a n − 1 … − a 1 − a 2 − … − a n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}

[ 5 5 5 6 6 6 − 11 − 11 − 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}

ou

[ 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 − 7 − 7 − 7 − 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}

têm quadrado nulo.

Exemplo 5

Talvez alguns dos exemplos mais marcantes de matrizes nilpotentes sejam as matrizes quadradas n × n {\displaystyle n\times n} da forma:

[ 2 2 2 ⋯ 1 − n n + 2 1 1 ⋯ − n 1 n + 2 1 ⋯ − n 1 1 n + 2 ⋯ − n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}

As primeiras de tais matrizes são as seguintes:

[ 2 − 1 4 − 2 ] [ 2 2 − 2 5 1 − 3 1 5 − 3 ] [ 2 2 2 − 3 6 1 1 − 4 1 6 1 − 4 1 1 6 − 4 ] [ 2 2 2 2 − 4 7 1 1 1 − 5 1 7 1 1 − 5 1 1 7 1 − 5 1 1 1 7 − 5 ] … {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }

Essas matrizes são nilpotentes, mas não há qualquer entrada nula em nenhuma potência com expoente menor do que o índice.[5]

Caracterização

Para uma matriz N {\displaystyle N} quadrada, de ordem n × n , {\displaystyle n\times n,} com entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmações são equivalentes:

  • N {\displaystyle N} é nilpotente.
  • O polinômio característico de N {\displaystyle N} é det ( x I − N ) = x n . {\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}.}
  • O polinômio minimal de N {\displaystyle N} é x k {\displaystyle x^{k}} para algum número inteiro positivo k ≤ n . {\displaystyle k\leq n.}
  • O único autovalor complexo de N {\displaystyle N} é 0.
  • tr(Nk) = 0 para todo k > 0. {\displaystyle k>0.}

O último teorema é verdadeiro para matrizes sobre qualquer corpo de característica 0, ou de característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema tem várias consequências, incluindo:

  • O índice de um n × n {\displaystyle n\times n} matriz nilpotente de ordem n é sempre menor ou igual a n {\displaystyle n} n. Por exemplo, toda matriz nilpotente de ordem 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} tem quadrado nulo.
  • O determinante e o traço de uma matriz nilpotente são sempre zero. Consequentemente, uma matriz nilpotente não pode ser invertida.
  • A única matriz diagonalizável nilpotente é a matriz nula.

Classificação

Considere a matriz de deslocamento:

S = [ 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … 1 0 0 0 … 0 ] . {\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}

Essa matriz tem 1s ao longo da superdiagonal e 0s em todas as outras entradas. Como uma transformação linear, a matriz de deslocamento "desloca" os componentes de um vetor uma posição para a esquerda, com um zero aparecendo na última posição:

S ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ( x 2 , … , x n , 0 ) . {\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}
[2]

Esta matriz é nilpotente com grau n {\displaystyle n} n, e é a matriz nilpotente canônica.

Especificamente, se N {\displaystyle N} é qualquer matriz nilpotente, então N {\displaystyle N} é semelhante a uma matriz diagonal em blocos da forma

[ S 1 0 … 0 0 S 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … S r ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}

em que cada um dos blocos S 1 , S 2 , … , S r {\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}} é uma matriz de deslocamento (possivelmente de tamanhos diferentes). Essa forma é um caso especial da forma canônica de Jordan para matrizes.[6]

Por exemplo, qualquer matriz nilpotente não nula de ordem 2 × 2 é semelhante à matriz

[ 0 1 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}

Em outras palavras, se N {\displaystyle N} é qualquer matriz 2 × 2 nilpotente não nula, então existe uma base b1, b2 de modo que Nb1 = 0 e Nb2 = b1 .

Este teorema de classificação vale para matrizes sobre qualquer corpo. (Não é necessário que o corpo seja algebricamente fechado.)

Bandeira de subespaços

Uma transformação nilpotente L {\displaystyle L} em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} determina naturalmente uma bandeira de subespaços

{ 0 } ⊂ ker ⁡ L ⊂ ker ⁡ L 2 ⊂ … ⊂ ker ⁡ L q − 1 ⊂ ker ⁡ L q = R n {\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}

e uma assinatura

0 = n 0 < n 1 < n 2 < … < n q − 1 < n q = n , n i = dim ⁡ ker ⁡ L i . {\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}

A assinatura caracteriza L {\displaystyle L} salvo por uma transformação linear invertível. Além disso, ela satisfaz as desigualdades

n j + 1 − n j ≤ n j − n j − 1 , para todo  j = 1 , … , q − 1. {\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{para todo }}j=1,\ldots ,q-1.}

Reciprocamente, qualquer sequência de números naturais que satisfaça essas desigualdades é a assinatura de alguma transformação nilpotente.

Propriedades adicionais

  • Se N {\displaystyle N} é nilpotente, então I + N {\displaystyle I+N} e I − N {\displaystyle I-N} são invertíveis, onde I {\displaystyle I} é a matriz identidade. Os inversos são dados por
    ( I + N ) − 1 = ∑ m = 0 ∞ ( − N ) m = I − N + N 2 − N 3 + N 4 − N 5 + N 6 − N 7 + ⋯ , ( I − N ) − 1 = ∑ m = 0 ∞ N m = I + N + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 + N 7 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots ,\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots \\\end{aligned}}}
    Desde que N {\displaystyle N} seja nilpotente, ambas as somas convergem, visto que apenas um número finito de termos é diferente de zero.
  • Se N {\displaystyle N} é nilpotente, então
    det ( I + N ) = 1 , {\displaystyle \det(I+N)=1,}
    em que I {\displaystyle I} denota a n × n {\displaystyle n\times n} matriz identidade. Por outro lado, se A {\displaystyle A} é uma matriz e
    det ( I + t A ) = 1 {\displaystyle \det(I+tA)=1}
    para todos os valores de t , {\displaystyle t,} então A {\displaystyle A} é nilpotente. Na verdade, como p ( t ) = det ( I + t A ) − 1 {\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1} é um polinômio de grau n {\displaystyle n} n, é suficiente que isso valha para n + 1 {\displaystyle n+1} valores distintos de t . {\displaystyle t.}
  • Toda matriz singular pode ser escrita como um produto de matrizes nilpotentes.[7]
  • Uma matriz nilpotente é um caso especial de uma matriz convergente.

Generalizações

Um operador linear T {\displaystyle T} é localmente nilpotente se para cada vetor v , {\displaystyle v,} existe algum k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } tal que

T k ( v ) = 0. {\displaystyle T^{k}(v)=0.}

Para operadores em um espaço vetorial de dimensão finita, a nilpotência local é equivalente à nilpotência.

Notas

  1. ↑ Herstein (1975)
  2. ↑ a b Beauregard & Fraleigh (1973, p. 312)
  3. ↑ Herstein (1975, p. 268)
  4. ↑ Nering (1970, p. 274)
  5. ↑ Mercer, Idris D. (31 de outubro de 2005). «Finding "nonobvious" nilpotent matrices» (PDF). math.sfu.ca. self-published; personal credentials: PhD Mathematics, Simon Fraser University. Consultado em 22 de agosto de 2020 
  6. ↑ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 312,313)
  7. ↑ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

Referências

  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, ISBN 0-395-14017-X, Boston: Houghton Mifflin Co. 
  • Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra 2nd ed. , John Wiley & Sons 
  • Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory 2nd ed. , New York: Wiley 

Ligações externas

  • Nilpotent matrix e nilpotent transformation no PlanetMath (em inglês)