Matriz identidade

Em matemática, matriz identidade é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a ${\displaystyle 1}$. É denotada por ${\displaystyle I_{n}}$, onde ${\displaystyle n}$ é a ordem da matriz, ou simplesmente por ${\displaystyle I}$. Ou seja, a matriz identidade ${\displaystyle I_{n}}$ tem a seguinte forma:^[1][2]

${\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}_{n\times n}\,\!}$

A matriz ${\displaystyle I_{n}}$ é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Mais precisamente, para qualquer matriz ${\displaystyle A}$, as seguintes igualdades são válidas:^[1][2]

${\displaystyle A_{m,n}I_{n}=A_{m,n}\,\!}$

${\displaystyle I_{m}A_{m,n}=A_{m,n}\,\!}$

Definição

A matriz ${\displaystyle I_{n}=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}$, onde:^[1]

${\displaystyle a_{i,j}=\left\{{\begin{array}{rr}1&,{\text{se }}i=j\\0&,{\text{se }}i\neq j\end{array}}\right.}$

é chamada de matriz identidade de ordem ${\displaystyle n}$.

Notações alternativas

Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:

• A notação de matrizes diagonais: ${\displaystyle I_{n}={\text{diag}}\left(1;1;1;...;1\right)\,\!}$
• A notação do Delta de Kronecker: ${\displaystyle I_{n}={\left(\delta _{x,y}\right)}_{n}\,\!}$

Matriz inversa

O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa. Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

${\displaystyle A\cdot A^{-1}=I\,\!}$

A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:

${\displaystyle I=I^{-1}\,\!}$

Matriz transposta

A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

${\displaystyle I=I^{t}\,\!}$

Matriz identidade refletida

Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.

Considerando-se uma matriz A:

${\displaystyle A_{x,y}={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,y}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{x,1}&a_{x,2}&\cdots &a_{x,y}\\\end{bmatrix}}}$

Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A:

${\displaystyle A_{x,y}\cdot R_{y}={\begin{bmatrix}a_{1,y}&a_{1,y-1}&\cdots &a_{1,1}\\a_{2,y}&a_{2,y-1}&\cdots &a_{2,1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{x,y}&a_{x,y-1}&\cdots &a_{x,1}\\\end{bmatrix}}}$

Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A:

${\displaystyle R_{x}\cdot A_{x,y}={\begin{bmatrix}a_{x,1}&a_{x,2}&\cdots &a_{x,y}\\a_{x-1,1}&a_{x-1,2}&\cdots &a_{x-1,y}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,y}\\\end{bmatrix}}}$

Ver também

• Matriz transposta
• Matriz inversa
• Matriz quadrada
• Matriz diagonal

Referências