Antiprisma

Antiprisma
TipoPoliedro uniforme
Forma facce2 n-goni, 2n triangoli
Nº facce2 + 2n
Nº spigoli4n
Nº vertici2n
Valenze vertici4
DualeTrapezoedro
Proprietàconvesso
Sviluppo piano
Manuale

Un antiprisma è un poliedro le cui facce sono due poligoni regolari con n lati della stessa grandezza, connesse da un ciclo di triangoli isosceli o equilateri. Ciascun triangolo di ciascun ciclo connette due vertici di una base e un vertice dell'altra.

Gli antiprismi sono simili ai prismi; si differenziano da questi per avere le basi ruotate una rispetto all'altra di un angolo equivalente alla metà di quello formato dai raggi che congiungono il baricentro del poligono a due vertici adiacenti, e connesse da triangoli invece che da rettangoli.

Un antiprisma è un poliedro uniforme e convesso. In particolare, le sue facce sono poligoni regolari e le cuspidi ai vertici sono tutte identiche.

Esiste un antiprisma per ogni n > 2 {\displaystyle n>2} . Per n = 3 {\displaystyle n=3} , l'antiprisma è un ottaedro: questo è anche uniforme sugli spigoli e sulle facce, oltre che sui vertici, ed è quindi un solido platonico.

I poliedri duali degli antiprismi sono i trapezoedri. Il primo nel Rinascimento a individuarli, denominarli e discuterli fu Johannes Kepler.

L'altezza di un antiprisma retto, convesso e regolare è fissata una volta determinato il valore del lato del poligono di base. Nel caso in cui l'antiprisma sia retto e convesso, ma irregolare, la sua altezza - insieme al lato del poligono di base - sarà fondamentale per derivarne le altre caratteristiche.

Coordinate canoniche

Un antiprisma con n = 5

Le coordinate canoniche di un antiprisma con basi n-gonali sono

⟨   sin ⁡ ( π k / n )   ,   cos ⁡ ( π k / n )   ,   ( − 1 ) k a   ⟩ {\displaystyle \left\langle ~\sin(\pi k/n)~,~\cos(\pi k/n)~,~(-1)^{k}a~\right\rangle }

con

k = 0 , 1 , . . . , 2 n − 1 {\displaystyle k=0,1,...,2n-1}
a = cos ⁡ π n − cos ⁡ 2 π n 2 {\displaystyle a={\sqrt {\frac {\cos {\frac {\pi }{n}}-\cos {\frac {2\pi }{n}}}{2}}}}

Bibliografia

Modelli di antiprisma (con n = 4 e n = 6)
  • H. M. Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.

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