In analisi matematica, la formula di Cauchy per integrazioni ripetute, il cui nome deriva da Augustin-Louis Cauchy, rappresenta un modo per calcolare più integrali ripetuti mediante un'unica formula.
Enunciato
Sia
una funzione continua definita sulla retta reale positiva. Allora l'integrale ripetuto[1]
![{\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{0}^{x}\int _{0}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{0}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})d\sigma _{n}\cdots d\sigma _{2}d\sigma _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e5489ceea85220cc4e9453ee981fe2e14f90b3)
è dato dal singolo integrale
.
Dimostrazione
La dimostrazione è data usando il principio d'induzione. Poiché
è continua, il caso base segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale:
;
dove
.
Ora, supposto questo vero per
, non resta che provarlo per
. Per prima cosa, utilizzando la regola integrale di Leibniz per portare la derivata dentro il segno d'integrale, si nota che
.
Allora, applicando l'ipotesi induttiva,
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db103058193a1e3ecb95f3184030a86de2dba63)
e questo completa la dimostrazione.
Applicazioni
Nel calcolo frazionario, questa formula può essere usata per costruire una nozione di differintegrale, permettendo di derivare e integrare un numero frazionale di volte. Integrare un numero frazionario di volte con questa formula è chiaro, infatti basta interpretare
come
(vedere funzione Gamma). Derivare invece può essere realizzato grazie all'integrazione frazionaria, e dopo differenziando il risultato.
Note
- ^ Si noti che non si sta compiendo l'operazione
, né l'operazione
.
Bibliografia
- (EN) Gerald B. Folland, Advanced Calculus, Prentice Hall (2002), p. 193, ISBN 0-13-065265-2
Collegamenti esterni
- Alan Beardon, Fractional calculus II, su nrich.maths.org, University of Cambridge, 2000.
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica