Lemma di Schwarz

Disambiguazione – Se stai cercando il Teorema di Schwarz sulle derivate parziali, vedi Teorema di Schwarz.

In matematica, e in particolare in analisi complessa, il lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzioni olomorfe, che non trova analogie nel comportamento delle funzioni reali.

Enunciato

Sia ${\displaystyle \displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$ il disco aperto unitario nel piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$ e sia ${\displaystyle f\colon D\to {\overline {D}}}$ una funzione olomorfa che fissa l'origine, cioè ${\displaystyle \displaystyle f(0)=0}$. Allora valgono le seguenti relazioni:

• ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|\,\forall z\in D;}$
• ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1.}$

Inoltre, se esiste ${\displaystyle z_{0}\in D-\{0\}}$ tale che

${\displaystyle |f(z_{0})|=|z_{0}|,}$

oppure

${\displaystyle \displaystyle |f'(0)|=1,}$

allora ${\displaystyle f\ }$ è una rotazione nel piano complesso:

${\displaystyle f(z)=az\quad (|a|=1).}$

Dimostrazione

La dimostrazione sfrutta essenzialmente il teorema del massimo modulo, applicandolo alla funzione

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}&{\text{se }}z\neq 0,\\f'(0)&{\text{se }}z=0,\end{cases}}}$

che risulta essere analitica nel disco unitario. Considerando un arbitrario disco chiuso interno al disco unitario aperto

${\displaystyle D_{r}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq r<1\},}$

e applicando il teorema del massimo modulo si ha che per ${\displaystyle z}$ interno al ${\displaystyle \displaystyle D_{r}}$ e ${\displaystyle z_{r}}$ sulla frontiera vale

${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

Dovendo questo valere per ${\displaystyle r}$ arbitrariamente vicino a ${\displaystyle 1}$, risulta ${\displaystyle |g(z)|\leq 1,}$ che è la prima parte della tesi.

Se valesse poi ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ oppure ${\displaystyle |f'(z)|=1}$ in un punto ${\displaystyle z_{0}\in D,}$ allora la ${\displaystyle g(z)}$ assumerebbe massimo all'interno del disco, cioè sarebbe una costante ${\displaystyle a}$ di modulo ${\displaystyle |a|=1}$. Quindi ${\displaystyle g(z)=a}$ cioè ${\displaystyle f(z)=az}$ che è la tesi.

Estensioni del teorema

Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa ${\displaystyle f\colon D\to D}$, valgono le seguenti relazioni (con ${\displaystyle z_{1},z_{2},z\in D}$):

• ${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}};}$
• ${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left({\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}\right),}$

la funzione ${\displaystyle f}$ risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).

Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora ${\displaystyle f}$ è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.

Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.

Bibliografia

• (EN) Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces. New York, Springer-Verlag, 2002 ISBN 3-540-43299-X
• (EN) S. Dineen, The Schwarz Lemma. Oxford University Press, 1989 ISBN 0-19-853571-6

Voci correlate

• Funzione contrattiva

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