Matrice identità

In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con I {\displaystyle I} oppure con I n {\displaystyle I_{n}} , dove n {\displaystyle n} è il numero di righe della matrice.

I 1 = [ 1 ] I 2 = [ 1 0 0 1 ] I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⋯ I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}

Proprietà

  • La proprietà fondamentale di I n {\displaystyle I_{n}} è che:
A I n = A I n B = B {\displaystyle AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B}
per ogni matrice A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
  • In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
  • La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore e i {\displaystyle e_{i}} della base canonica dello spazio euclideo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
  • La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

Notazioni

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

I n = d i a g ( 1 , 1 , … , 1 ) {\displaystyle I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)}

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

( I n ) i j = δ i j {\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}

Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici n × n {\displaystyle n\times n} a valori in un campo fissato K {\displaystyle K} .

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare G L ( n , K ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} formato da tutte le matrici invertibili n × n {\displaystyle n\times n} a valori in K {\displaystyle K} .

Trasformazioni lineari

Sia K {\displaystyle K} un campo. Ogni matrice quadrata A {\displaystyle A} induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale K n {\displaystyle K^{n}} in sé, definita nel modo seguente:

x ↦ A x {\displaystyle x\mapsto Ax}

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Bibliografia

  • (EN) Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
  • (EN) Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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