Matrice antisimmetrica

In matematica una matrice antisimmetrica o emisimmetrica è una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ la cui trasposta è anche la sua opposta, ossia:

${\displaystyle A^{t}=-A.}$

In termini dei suoi elementi ${\displaystyle a_{i,j}}$, per ogni ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ vale:

${\displaystyle a_{i,j}=-a_{j,i}.}$

Per esempio, la matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{pmatrix}}}$

è antisimmetrica.

Proprietà

Diagonale principale

Se le entrate della matrice appartengono a un campo con caratteristica diversa da 2, tutti gli elementi sulla diagonale principale di una matrice antisimmetrica sono uguali a zero in quanto per definizione ${\displaystyle a_{i,i}=-a_{i,i}}$. In particolare, una matrice antisimmetrica ha traccia nulla.

Determinante

Se ${\displaystyle A}$ è una matrice antisimmetrica di ordine ${\displaystyle n,}$ il suo determinante soddisfa:

${\displaystyle \det(A)=\det(A^{t})=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}$

In particolare, se ${\displaystyle n}$ è dispari il determinante è zero. Se ${\displaystyle n}$ è pari, invece, il determinante di ${\displaystyle A}$ è il quadrato di un polinomio ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$ (lo pfaffiano) calcolato nelle componenti di ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$

Si può però dimostrare in modo elementare che il determinante di una matrice antisimmetrica reale è non negativo. Infatti gli autovalori di una matrice antisimmetrica reale ${\displaystyle A}$ sono numeri immaginari puri, poiché se ${\displaystyle \lambda }$ è un autovalore associato all'autovettore ${\displaystyle v}$, cosicché ${\displaystyle Av=\lambda v}$, allora

${\displaystyle {\overline {\lambda }}{\overline {v}}^{t}v={\overline {(\lambda {\overline {v}}^{t}v)^{t}}}={\overline {({\overline {v}}^{t}Av)^{t}}}={\overline {v}}^{t}A^{t}v=-{\overline {v}}^{t}Av=-\lambda {\overline {v}}^{t}v,}$

da cui deduciamo che ${\displaystyle \lambda +{\overline {\lambda }}=0}$, in altre parole ${\displaystyle \lambda }$ è immaginario puro, diciamo ${\displaystyle \lambda =ai}$ con ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Ora, ad ogni tale autovalore ${\displaystyle \lambda }$ corrisponde l'autovalore coniugato ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$, con la stessa molteplicità, poiché se ${\displaystyle Av=\lambda v}$, allora ${\displaystyle A{\overline {v}}={\overline {Av}}={\overline {\lambda v}}={\overline {\lambda }}{\overline {v}}}$. Pertanto ${\displaystyle \det(A)}$, essendo il prodotto degli autovalori (ciascuno ripetuto secondo la sua molteplicità), se non è zero è il prodotto dei numeri reali positivi ${\displaystyle \lambda \cdot {\overline {\lambda }}=ai\cdot {\overline {ai}}=a^{2}}$.

Matrici simmetriche e antisimmetriche

Per ogni matrice quadrata ${\displaystyle A}$, la matrice ${\displaystyle T=A-A^{t}}$ è una matrice antisimmetrica, mentre la matrice ${\displaystyle S=A+A^{t}}$ è una matrice simmetrica.

È possibile (se ${\displaystyle A}$ ha elementi in un campo di caratteristica diversa da 2) scrivere ${\displaystyle A}$ come:

${\displaystyle A=(S+T)/2={1 \over 2}S+{1 \over 2}T,}$

ossia come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica. La matrice trasposta di ${\displaystyle A}$ in questo caso è:

${\displaystyle A^{t}=(S-T)/2.}$

Teoria spettrale

Se una matrice antisimmetrica ${\displaystyle A}$ ha un autovalore ${\displaystyle \lambda }$, allora ha anche un autovalore ${\displaystyle -\lambda }$. Ossia, se:

${\displaystyle Av=\lambda v,}$

allora ${\displaystyle v^{t}A^{t}=\lambda v^{t}}$, quindi:

${\displaystyle v^{t}A=-v^{t}A^{t}=-\lambda v^{t}.}$

In particolare, gli autovalori di una matrice antisimmetrica si trovano sempre in coppie ${\displaystyle (\lambda ,-\lambda )}$, eccetto nel caso di dimensione dispari nel quale è anche presente un autovalore nullo.

Gli autovalori di una matrice reale antisimmetrica sono tutti immaginari puri, quindi della forma ${\displaystyle \pm i\lambda _{i}}$, con ${\displaystyle \lambda _{i}}$ reale.

Le matrici reali antisimmetriche sono matrici normali e in particolare per esse vale teorema spettrale, ovvero possono essere diagonalizzate tramite una matrice unitaria. Quindi se una matrice reale antisimmetrica ha un autovalore non nullo, questo non è reale e la matrice non può essere diagonalizzata tramite una matrice reale. È comunque possibile trasformare ogni matrice antisimmetrica ${\displaystyle A}$ in una matrice diagonale a blocchi tramite una matrice ortogonale ${\displaystyle R}$ (con ${\displaystyle R^{t}=R^{-1}}$), ovvero in modo che ${\displaystyle \Sigma _{n}=R^{-1}AR=R^{t}AR}$ sia di una delle due forme:

${\displaystyle \Sigma _{2r}={\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{bmatrix}}&O&\cdots &O\\O&{\begin{bmatrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{bmatrix}}&&O\\\vdots &&\ddots &\vdots \\O&O&\cdots &{\begin{bmatrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{bmatrix}}\end{pmatrix}},\qquad \Sigma _{2r+1}={\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}\Sigma _{2r}\end{bmatrix}}&O\\O&{\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}\end{pmatrix}},}$

con autovalori ${\displaystyle \pm i\lambda _{k}}$ (più un autovalore ${\displaystyle 0}$ se ${\displaystyle n}$ è dispari).

Forme alternanti

Una forma alternante (o antisimmetrica) ${\displaystyle \varphi }$ su uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ sopra un campo ${\displaystyle K}$ (di caratteristica diversa da 2) è una forma bilineare ${\displaystyle \varphi \colon V\times V\to K}$ tale che:

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Ogni forma alternante ${\displaystyle \varphi }$ viene rappresentata da una matrice antisimmetrica ${\displaystyle A}$ su una base di ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \varphi (v,w)=v^{t}Aw}$, e viceversa.

Rotazioni infinitesimali

Le matrici antisimmetriche di ordine ${\displaystyle n}$ con elementi in un campo ${\displaystyle K}$ sono uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$ di dimensione ${\displaystyle n(n-1)/2}$, che è lo spazio tangente al gruppo ortogonale ${\displaystyle O(n)}$ nella matrice identità; in questa interpretazione, le matrici antisimmetriche possono essere derivate da "rotazioni infinitesimali".

Equivalentemente, lo spazio vettoriale delle matrici antisimmetriche forma l'algebra di Lie ${\displaystyle o(n)}$ del gruppo di Lie ${\displaystyle O(n)}$. La parentesi di Lie su di esso è il commutatore ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$, che è antisimmetrico:

${\displaystyle (AB-BA)^{t}=B^{t}A^{t}-A^{t}B^{t}=BA-AB.}$

Inoltre, la matrice esponenziale ${\displaystyle R=\exp(A)}$ di una matrice antisimmetrica ${\displaystyle A}$ è una matrice ortogonale:

${\displaystyle R^{t}=\mathrm {e} ^{A^{t}}=\mathrm {e} ^{-A}=(\mathrm {e} ^{A})^{-1}=R^{-1}.}$

Di conseguenza l'immagine dell'applicazione esponenziale si trova nella componente connessa di ${\displaystyle O(n)}$, il gruppo ortogonale speciale ${\displaystyle SO(n)}$, e ogni rotazione ${\displaystyle R}$ ha determinante ${\displaystyle 1}$. In particolare, ogni matrice ortogonale speciale (con determinante ${\displaystyle 1}$) è l'esponenziale di una matrice antisimmetrica.

Bibliografia

• (EN) S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces , Acad. Press (1978)

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Matrice simmetrica
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice trasposta
• Matrice simplettica
• Quoziente di Rayleigh

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice antisimmetrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice antisimmetrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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