Matrice quadrata

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è una matrice dotata di un numero uguale di righe e colonne, detto ordine della matrice. Viene altrimenti detta "matrice ${\displaystyle n\times n}$".^[1]

Si tratta del tipo più comune e più importante di matrice, l'unico su cui sono definiti concetti come determinante, traccia, autovalore. Le matrici quadrate sono utili a modellizzare le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale in se stesso (più precisamente, i suoi endomorfismi), le forme bilineari ed i prodotti scalari.

Algebra di matrici

Anello

L'insieme di tutte le matrici quadrate dello stesso ordine ${\displaystyle n}$ a valori in un campo ${\displaystyle K}$ fissato (ad esempio, i numeri reali o complessi) costituisce, rispetto alle operazioni di somma e di prodotto fra matrici, un anello. Eccetto il caso ${\displaystyle n=1}$, tale anello non è commutativo. Viene indicato generalmente con ${\displaystyle M(n,K)}$.

L'elemento neutro per la somma è la matrice nulla, avente zeri ovunque. L'elemento neutro per la moltiplicazione è la matrice identità ${\displaystyle I_{n}}$, contenente elementi pari a 1 nella diagonale principale e elementi nulli altrove.^[2] Per esempio, se ${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Spazio vettoriale

Considerato anche con l'operazione di moltiplicazione per scalare, l'insieme ${\displaystyle M(n,K)}$ è anche uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$, di dimensione ${\displaystyle n^{2}}$.

Le due strutture di anello e spazio vettoriale formano insieme una struttura di algebra su campo.^[1]

Elementi invertibili

Gli elementi invertibili nell'anello si dicono matrici invertibili. Una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ è invertibile se e solo se esiste una matrice quadrata ${\displaystyle B}$ tale che:

${\displaystyle AB=I_{n}=BA}$

In tal caso, ${\displaystyle B}$ è la matrice inversa di ${\displaystyle A}$, ed è indicata con ${\displaystyle A^{-1}}$.

L'insieme di tutte le matrici invertibili di tipo ${\displaystyle n\times n}$, dotato dell'operazione di moltiplicazione, è un gruppo, chiamato gruppo generale lineare: si tratta di un particolare gruppo di Lie.

Inoltre se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono invertibili, si ha che anche la matrice ${\displaystyle AB}$ è invertibile, e inoltre che ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$.^[3]

Autovettori e autovalori

Lo stesso argomento in dettaglio: Autovettore e autovalore e Diagonalizzabilità.

Se ${\displaystyle \lambda }$ è un numero in ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle v}$ è un vettore non nullo in ${\displaystyle K^{n}}$ tali che:

${\displaystyle Av=\lambda v}$

si dice che ${\displaystyle v}$ è un autovettore di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \lambda }$ è l'autovalore ad esso associato.^[4].

Lo studio degli autovalori e autovettori è di fondamentale importanza in algebra lineare, e porta al concetto di diagonalizzabilità. Gli autovalori di una matrice sono le radici del suo polinomio caratteristico, definito come:

${\displaystyle p(\lambda )=\det(A-\lambda I)}$

Determinante e traccia

Il determinante di una matrice quadrata è una quantità importante che può essere definita in numerosi modi diversi, tutti equivalenti fra di loro. I determinanti caratterizzano l'invertibilità di una matrice quadrata: una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo.

La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della sua diagonale principale.

Il polinomio caratteristico, oltre ad essere uno strumento utile per il calcolo degli autovalori, è anche un oggetto che ha fra i suoi coefficienti il determinante, la traccia ed altri valori numerici simili.

Quando una matrice è diagonalizzabile, determinante e traccia sono rispettivamente il prodotto e la somma degli autovalori della matrice.

La funzione esponenziale di matrice è definita per matrici quadrate attraverso una serie di potenze.

Note

Bibliografia

• Silvio Greco e Paolo Valabrega, Lezioni di Geometria - Volume I (Algebra Lineare), Libreria Editrice Universitaria Levrotto&Bella - Torino, 1999, ISBN 88-8218-040-9.

Voci correlate

• Matrice
• Determinante (algebra)
• Sistema di equazioni lineari

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• matrice quadrata, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) square matrix, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice quadrata, su MathWorld, Wolfram Research.

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