Regressione nonlineare

Approssimazione di un set di osservazioni tramite polinomi di diversi gradi

In statistica la regressione non lineare è un metodo di stima di una curva interpolante un modello della forma:

  Y = f ( X ; ϑ ) + ε {\displaystyle \ Y=f(X;\vartheta )+\varepsilon }

su un insieme di osservazioni (eventualmente multi-dimensionali), concernenti le variabili   X {\displaystyle \ X} ,   Y {\displaystyle \ Y} .

Metodi di stima

Diversamente da quanto accade nel caso della regressione lineare, non esiste un metodo generale per determinare i valori dei parametri che garantiscono la migliore interpolazione dei dati. A tal fine, si ricorre a classi di algoritmi numerici di ottimizzazione, che a partire da valori iniziali, scelti a caso o tramite un'analisi preliminare, giungono a punti ritenuti ottimali. Si potrebbero avere dei massimi locali della bontà del fitting, in contrasto ancora con il caso della regressione lineare, in cui il massimo è di natura globale.

Linearizzazione

Diversi modelli nonlineari possono essere linearizzati (cioè trasformati in modelli lineari, riducendo così l'onerosità numerica del problema di stima). Un esempio è dato dai modelli:

  Y = α exp ⁡ { β X } {\displaystyle \ Y=\alpha \exp \left\{\beta X\right\}}

e

  Y = α X 1 β X 2 γ {\displaystyle \ Y=\alpha X_{1}^{\beta }X_{2}^{\gamma }}

Il primo emerge naturalmente in una varietà di contesti, come soluzione di equazioni differenziali ordinarie; il secondo è tipico dell'ambito dell'economia e dell'econometria, come modello per la funzione di produzione. In entrambi i casi è possibile linearizzare i modelli applicando una trasformazione logaritmica.

I logaritmi nella regressione

Caso Regressione Interpretazione di β 1 {\displaystyle \beta _{1}}
lin-log Y i = β 0 + β 1 ln ⁡ ( X i ) + u i {\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\ln(X_{i})+u_{i}} Una variazione percentuale dell'1% in X determina una variazione pari a 0,01 β 1 {\displaystyle \beta _{1}} in Y.
log-lin ln ⁡ ( Y i ) = β 0 + β 1 ( X i ) + u i {\displaystyle \ln(Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}(X_{i})+u_{i}} Una variazione di un'unità in X (ΔX = 1) determina una variazione pari al 100 β 1 {\displaystyle \beta _{1}}  % in Y.
log-log ln ⁡ ( Y i ) = β 0 + β 1 ln ⁡ ( X i ) + u i {\displaystyle \ln(Y_{i})=\beta _{0}+\beta _{1}\ln(X_{i})+u_{i}} Una variazione pari all'1% in X determina una variazione pari al β 1 {\displaystyle \beta _{1}}  % in Y (elasticità).

Ulteriori metodi

Modelli di maggiore complessità, quali ad esempio quelli caratterizzati da equazioni trascendenti come   Y = A 1 e B 1 X + A 2 e B 2 X {\displaystyle \ Y=A_{1}e^{B_{1}X}+A_{2}e^{B_{2}X}} , sono stimati tramite algoritmi più sofisticati. Diversi software matematici contengono librerie di ottimizzazione: Gauss, GNU Octave, MATLAB, Mathematica; sono inoltre ampiamente disponibili librerie di ottimizzazione per linguaggi avanzati quali C++ o Fortran.

Chiarimenti sull'ambito di applicazione del metodo

Sovente si considera - erroneamente - che l'impiego del metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri   α {\displaystyle \ \alpha } ,   β {\displaystyle \ \beta } ,   γ {\displaystyle \ \gamma } in un modello del tipo:

  Y i = α X i 2 + β X i + γ + ε i {\displaystyle \ Y_{i}=\alpha X_{i}^{2}+\beta X_{i}+\gamma +\varepsilon _{i}}

costituisca un caso di regressione nonlineare. In realtà, l'aggettivo (non-)lineare è riferito ai parametri, non alla(e) variabile(i) dipendente(i), per cui il modello sopra è stimato tramite i minimi quadrati ordinari come un modello di regressione lineare; si veda al riguardo il relativo articolo.

Voci correlate

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