Trasformata di Weierstrass

In matematica, la trasformata di Weierstrass^[1] è una trasformata integrale di una funzione ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, che deve il suo nome al matematico tedesco Karl Weierstrass. La trasformata è intuitivamente una versione "smussata" di ${\displaystyle f(x)}$, ottenuta mediando il valore di ${\displaystyle f}$ e pesando con una funzione gaussiana centrata in ${\displaystyle x}$.

Formulazione matematica

In modo più specifico, è la funzione ${\displaystyle F}$ definita da

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

che è la convoluzione di ${\displaystyle f}$ con la funzione gaussiana

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

Il fattore ${\displaystyle 1/{\sqrt {4\pi }}}$ è scelto in modo che l'integrale della Gaussiana sia 1, cosicché le funzioni costanti non vengano cambiate dalla trasformata di Weierstrass.

Invece di ${\displaystyle F}$, spesso viene indicata con ${\displaystyle W[f](x)}$. Da notare che, poiché l'integrale potrebbe non convergere, non è detto che ${\displaystyle F}$ sia definita per ogni numero reale ${\displaystyle x}$.

La trasformata di Weierstrass è strettamente collegata all'equazione del calore (o, equivalentemente, all'equazione di diffusione con coefficiente di diffusione costante). Se la funzione ${\displaystyle f}$ descrive la temperatura iniziale in ogni punto di una sbarra infinitamente lunga con conduttività termica costante uguale a 1, allora la distribuzione di temperatura a ${\displaystyle t=1}$ sarà data dalla funzione ${\displaystyle F}$. Utilizzando valori di ${\displaystyle t}$ differenti da 1, si può definire la trasformata di Weierstrass generalizzata di ${\displaystyle f}$.

La trasformata di Weierstrass generalizzata fornisce uno strumento per approssimare arbitrariamente bene una data funzione integrabile ${\displaystyle f}$ con funzioni analitiche.

Nomi

Weierstrass utilizzò la trasformata nella sua originale dimostrazione del teorema di approssimazione di Weierstrass. È anche conosciuta come la trasformata di Gauss–Weierstrass, da Carl Friedrich Gauss, e come la trasformata di Hille, da Einar Hille che la studiò ampiamente. La generalizzazione delle trasformata ${\displaystyle W_{t}}$ è conosciuta in analisi dei segnali come filtro gaussiano e in elaborazione delle immagini (quando realizzata in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) come sfocatura gaussiana ("gaussian blur" in inglese).

Trasformata di alcune funzioni importanti

Come menzionato prima, ogni funzione costante è la sua stessa trasformata. La trasformata di Weierstrass di qualsiasi polinomio è un polinomio dello stesso grado e con lo stesso coefficiente direttore, lasciando quindi la crescita asintotica invariata. In particolare, se ${\displaystyle H^{n}}$ indica il polinomio di Hermite fisico di grado ${\displaystyle n}$, allora la trasformata di Weirstrass di ${\displaystyle H^{n}(x/2)}$ è semplicemente ${\displaystyle x^{n}}$. Questo si può dimostrare sfruttando il fatto che la funzione generatrice dei polinomi di Hermite è strettamente collegata al nucleo gaussiano utilizzato nella definizione della trasformata di Weierstrass.

La trasformata di Weierstrass della funzione ${\displaystyle e^{ax}}$, dove ${\displaystyle a}$ è una costante arbitraria, è ${\displaystyle e^{a^{2}}e^{ax}}$. La funzione ${\displaystyle e^{ax}}$ è quindi un'autofunzione della trasformata di Weierstrass (questo, infatti, è vero più in generale per ogni trasformata convolutiva).

Sostituendo ${\displaystyle a=bi}$, dove ${\displaystyle i}$ è l'unità immaginaria, e applicando l'identità di Eulero, si vede che la trasformata di Weierstrass della funzione ${\displaystyle \cos(bx)}$ è ${\displaystyle e^{-b^{2}}\cos(bx)}$ e della funzione ${\displaystyle \sin(bx)}$ è ${\displaystyle e^{-b^{2}}\sin(bx)}$.

La trasformata di Weierstrass della funzione ${\displaystyle e^{ax^{2}}}$ è

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}}$     se ${\displaystyle a<1/4}$ e non definita se ${\displaystyle a\geq 1/4}$.

In particolare, scegliendo ${\displaystyle a}$ negativo, è evidente che la trasformata di Weierstrass di una funzione gaussiana è ancora una gaussiana ma più "larga".

Proprietà generali

La trasformata di Weierstrass assegna a ogni funzione ${\displaystyle f}$ una nuova funzione ${\displaystyle F}$ in modo lineare. Inoltre è invariante sotto traslazione, cioè la trasformata della funzione ${\displaystyle f(x+a)}$ è ${\displaystyle F(x+a)}$. Entrambe queste proprietà sono vere in generale per ogni trasformata integrale costruita attraverso la convoluzione.

Se la trasformata ${\displaystyle F(x)}$ esiste per i numeri reali ${\displaystyle x=a}$ e ${\displaystyle x=b}$, allora esiste per ogni valore compreso fra di essi e forma una funzione analitica. Inoltre, ${\displaystyle F(x)}$ esiste per tutti i numeri complessi con ${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$ e su tale striscia è una funzione olomorfa. Questa è la definizione formale di "liscezza" di ${\displaystyle F}$ citata prima.

Se ${\displaystyle f}$ è integrabile sull'intero asse reale (in altre parole, ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$), allora lo è anche la sua trasformata di Weierstrass ${\displaystyle F}$. Se in aggiunta ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ per ogni ${\displaystyle x}$, allora ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ ovunque e gli integrali di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle F}$ sono uguali. Questo esprime il fatto che l'energia termica totale è conservata dall'equazione del calore o che la quantità totale di materiale diffondente è conservata dall'equazione di diffusione.

Si può dimostrare che per ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ e ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$, si ha ${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ e ${\displaystyle ||F||_{p}\leq ||f||_{p}}$. Di conseguenza, la trasformata di Weierstrass costituisce un operatore limitato ${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$.

Se ${\displaystyle f}$ è sufficientemente liscia, allora la trasformata di Weierstrass della k-esima derivata di ${\displaystyle f}$ è uguale alla k-esima derivata della trasformata di Weierstrass di ${\displaystyle f}$.

Esiste una formula che mette in relazione la trasformata di Weierstrass ${\displaystyle W}$ e la trasformata di Laplace bilatera ${\displaystyle L}$. Se si definisce

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

allora

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

Filtro passa-basso

Si è visto sopra che la trasformata di Weierstrass di ${\displaystyle \cos(bx)}$ è ${\displaystyle e^{-b^{2}}\cos(bx)}$ e analogamente per ${\displaystyle \sin(bx)}$. In termini dell'analisi dei segnali, questo suggerisce che se il segnale ${\displaystyle f}$ contiene la frequenza ${\displaystyle b}$ (cioè contiene un addendo che è combinazione di ${\displaystyle \sin(bx)}$ e ${\displaystyle \cos(bx)}$), allora il segnale trasformato ${\displaystyle F}$ contiene la stessa frequenza, ma con un'ampiezza ridotta di un fattore ${\displaystyle e^{-b^{2}}}$. Questo ha come conseguenza che le frequenza più alte sono ridotte molto di più di quelle basse, e la trasformata di Weierstrass agisce quindi come un filtro passa-basso. Questo stesso risultato si ottiene anche tramite la trasformata di Fourier. Infatti, la trasformata di Fourier analizza un segnale in termini delle sue frequenza, trasforma convoluzioni in prodotti e gaussiane in gaussiane. La trasformata di Weierstrass è la convoluzione con una funzione gaussiana e perciò è la "moltiplicazione" del segnale trasformato secondo Fourier con una gaussiana, seguita dall'applicazione della trasformata di Fourier inversa. Questa moltiplicazione con una gaussiana nello spazio delle frequenze attenua le alte frequenze, che è altro modo di descrivere la proprietà di "liscezza" della trasformata di Weierstrass.

La trasformata inversa

La seguente formula, strettamente collegata alla trasformata di Laplace della funzione gaussiana e interpretabile come una versione reale della trasformazione di Hubbard–Stratonovich, è relativamente semplice da dimostrare:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

Ora si sostituisca ${\displaystyle u}$ con l'operatore di differenziazione formale ${\displaystyle D=d/dx}$ e si utilizzi l'operatore di shift di Lagrange

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(x-y)}$,

quest'ultima conseguenza della serie di Taylor e della definizione della funzione esponenziale, per ottenere

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

e quindi ricavare la seguente espressione formale per la trasformata di Weierstrass ${\displaystyle W}$,

${\displaystyle W=e^{D^{2}}~,}$

dove l'azione dell'operatore sulla destra su una funzione ${\displaystyle f(x)}$ va interpretata come

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

La precedente derivazione formale sorvola i dettagli sulla convergenza, e la formula ${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$ non è universalmente valida; ci sono molte funzioni ${\displaystyle f}$ che hanno una trasformata di Weierstrass ben definita, ma per cui ${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)}$ non esiste.

Tuttavia, la regola è ancora utile e può, per esempio, essere usata per derivare le trasformate di Weierstrass dei polinomi, dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche descritte prima.

L'inversa formale della trasformata di Weierstrass è data quindi da

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

Di nuovo, questa formula non è in genere valida ma può servire come guida. Si può mostrare che è valida per certe classi di funzioni se l'operatore a destra è definito propriamente.^[2]

Si può, alternativamente, provare a invertire la trasformata di Weierstrass in una maniera leggermente diversa: data una funzione analitica

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

applicando ${\displaystyle W^{-1}}$ si ottiene

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

utilizzando la proprietà dei polinomi di Hermite fisici ${\displaystyle H^{n}}$.

Nuovamente, questa formula per ${\displaystyle f(x)}$ è nella migliore delle ipotesi formale, poiché non si è controllato che la serie finale convergesse. Ma se, per esempio, ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$, allora la conoscenza di tutte le derivate di ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle x=0}$ è sufficiente per ricavare i coefficienti ${\displaystyle a_{n}}$, e ricostruire ${\displaystyle f}$ come serie di polinomi di Hermite.

Un ulteriore metodo per invertire la trasformata di Weierstrass sfrutta la sua relazione con la trasformata di Laplace descritta prima, e la ben nota formula d'inversione per quest'ultima trasformata. Il risultato viene enunciato sotto per le distribuzioni.

Generalizzazioni

Si può utilizzare la convoluzione con il nucleo gaussiano ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ (con ${\displaystyle t>0}$) per definire la trasformata di Weierstrass generalizzata ${\displaystyle W_{t}}$.

Per piccoli valori di ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle W_{t}[f]}$ è molto vicina a ${\displaystyle f}$, ma liscia. Più è grande ${\displaystyle t}$, più questo operatore media e varia la funzione ${\displaystyle f}$. Fisicamente, ${\displaystyle W_{t}}$ corrisponde a seguire l'equazione del calore (o della diffusione) per ${\displaystyle t}$ unità temporali. Dal momento che questo è additivo, allora

${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$

che corrisponde a "diffondere per ${\displaystyle t}$ unità, e dopo per ${\displaystyle s}$ unità, è equivalente a diffondere per ${\displaystyle s+t}$". Si può estendere anche per ${\displaystyle t=0}$ definendo ${\displaystyle W_{0}}$ come l'operatore identità (cioè la convoluzione con la funzione delta di Dirac), in modo da formare così un semigruppo di operatori.

Il nucleo ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ usato per la trasformata di Weierstrass generalizzata viene spesso chiamato nucleo di Gauss–Weierstrass, ed è la funzione di Green per l'equazione di diffusione ${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0}$ su ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Si può calcolare ${\displaystyle W_{t}}$ da ${\displaystyle W}$: infatti, data una funzione ${\displaystyle f(x)}$, si definisce una nuova funzione ${\displaystyle f_{t}(x)=f(x{\sqrt {t}})}$. Allora ${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x/{\sqrt {t}})}$, come conseguenza dell'integrazione per sostituzione.

La trasformata di Weierstrass può essere definita anche per certe classi di distribuzioni o "funzioni generalizzate".^[3] Per esempio, la trasformata della delta di Dirac è la funzione gaussiana ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}}$.

In questo contesto, si possono dimostrare rigorose formule d'inversione, per esempio

${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz}$

dove ${\displaystyle x_{0}}$ è qualsiasi numero reale fissato per cui ${\displaystyle F(x_{0})}$ esiste, l'integrale si estende lungo la linea verticale nel piano complesso con parte reale ${\displaystyle x_{0}}$, e il limite viene preso nel senso delle distribuzioni.

La trasformata di Weierstrass può essere anche definita per funzioni (o distribuzioni) a valori reali (o complessi) su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Si utilizza la stessa formula di convoluzione di prima ma si estende l'integrale su tutto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e si interpreta l'espressione ${\displaystyle (x-y)^{2}}$ come il quadrato della lunghezza euclidea del vettore ${\displaystyle x-y}$. Inoltre, il fattore di fronte all'integrale deve essere aggiustato in modo che la gaussiana abbia integrale 1.

In generale, la trasformata di Weierstrass può essere definita su qualunque varietà riemanniana: l'equazione del calore si definisce usando l'operatore di Laplace-Beltrami, e la trasformata di Weierstrass ${\displaystyle W[f]}$ si ricava seguendo la soluzione dell'equazione per un'unità temporale, partendo dalla distribuzione iniziale di temperatura ${\displaystyle f}$.

Trasformate collegate

Se si considera la convoluzione con il nucleo ${\displaystyle 1/(\pi (1+x^{2}))}$ invece di quello gaussiano, si ottiene la trasformata di Poisson, che smussa e media una data funzione in maniera simile alla trasformata di Weierstrass.

Note

Voci correlate

• Trasformata di Fourier
• Filtro gaussiano
• Mollificatore
• Equazione di diffusione
• Teorema di approssimazione di Weierstrass

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Trasformata di Weierstrass, su MathWorld, Wolfram Research.

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