グラフィカルモデル

グラフィカルモデル(英語: Graphical model)は、グラフが、確率変数間の条件付き依存構造を示しているような確率モデルである。これらは一般に確率論や統計、特にベイズ統計や機械学習で使用される。

グラフィカルモデルの種類

一般的には、多次元空間上の完全な分布と、ある特定の分布が保持する独立性の集合のコンパクトかつ分解された（factorized）表現であるグラフを表現するための基盤として、確率的グラフィカルモデルはグラフベースの表現を使用している。グラフィカルな分布の表現でよく使われるものにベイジアンネットワークとマルコフ確率場がある。両者は分解と独立性の性質を包含するが、表現することができる独立性の集合と、導く分布の分解が異なる^[1]。

ベイジアンネットワーク

もし、モデルのネットワーク構造が有向非巡回グラフならば、そのモデルは、すべての確率変数の同時確率の積で表される。厳密に言うと、事象を${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$とすると、共起確率は次を満たす:

${\displaystyle P[X_{1},\ldots ,X_{n}]=\prod _{i=1}^{n}P[X_{i}|pa_{i}]}$

ここで${\displaystyle pa_{i}}$はノード${\displaystyle X_{i}}$の親である。言い換えれば、同時確率は条件付き確率の積に因数分解される。例えば、上に指名した図のグラフィカルモデルは、同時確率が次のように因数分解される確率変数${\displaystyle A,B,C,D}$によって構成されている:

${\displaystyle P[A,B,C,D]=P[A]P[B]P[C|B,D]P[D|A,B,C].}$

どの2つのノードも、それらの親ノードによる条件付き独立である。一般に、d-separation（英語: d-separation）と呼ばれる基準をグラフが満たしていれば、どの2つのノード集合も第3の集合による条件付き独立となる。ベイジアンネットワークにおいては、局所独立性と大域独立性は等しい。

このグラフィカルモデルは有向非巡回グラフであるベイジアンネットワーク(Bayesian network, Belief network)として知られている。隠れマルコフモデルやニューラルネットワークといった古典的な機械学習モデルや、Variable-orderマルコフモデル（英語: variable-order Markov model）のような新しいモデルは、ベイジアンネットワークの特殊ケースと考えることができる。

マルコフ確率場

マルコフ確率場(マルコフネットワーク)は無向グラフ上のモデルである。繰り返し構造を多く持つグラフィカルモデルはプレートノーテーション（英語: Plate notation）を用いて表すことができる。

他の種類

• 因子グラフ（英語: factor graph）は変数と因子を繋ぐ無向2部グラフである。それぞれの因子はそれと繋がっている変数の確率分布を表現する。グラフは、確率伝搬法を作用させるために因子グラフの形に変形される。
• クリークツリー（英語: clique tree）は、クリークの木であり、Junction Treeアルゴリズム（英語: Junction tree algorithm）)で用いられる。
• 連鎖グラフ（英語: chain tree）)は有向エッジと無向エッジの両方を持つことを許した、有向な閉路を持たない（つまり、どのノードからスタートしても、枝の方向に従って移動すれば始点に戻らない）グラフである。有向非巡回グラフも無向グラフも連鎖グラフの特殊ケースであり、それゆえベイジアンネットワークやマルコフネットワークを単一化したり一般化したりすることができる。^[2]
• Ancestralグラフ（英語: Ancestral graph）は拡張版であり、有向エッジ、双方向エッジ、無向エッジを持つ。^[3]
• 条件付き確率場(Conditional random field)は無向グラフ上の識別モデルである。
• 制限ボルツマンマシン(Restricted Boltzmann machine)は無向グラフ上の生成モデルである。

応用

このモデルのフレームワークは、複雑な分布を簡潔に記述したり、分布中の非構造化情報を抽出したりするために、その構造を発見し分析するアルゴリズムを提供する。さらにそれらを構築し有効的に利用することを可能にする。^[1]グラフィカルモデルの応用には、情報抽出、音声認識、コンピュータビジョン、低密度パリティ検査符号の復号、遺伝子調節ネットワーク（英語: gene regulatory network）のモデリング、遺伝子の発見および疾患の診断、タンパク質構造のためのグラフィカルモデル（英語: graphical models for protein structure）などがある。

脚注

参考文献

書籍

• Bishop, Christopher M. (2006). “Chapter 8. Graphical Models”. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. pp. 359–422. ISBN 0-387-31073-8. MR2247587. http://research.microsoft.com/~cmbishop/PRML/pdf/Bishop-PRML-sample.pdf 
• Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J. (1999). Probabilistic networks and expert systems. Berlin: Springer. ISBN 0-387-98767-3. MR1697175  A more advanced and statistically oriented book
• Jensen, Finn (1996). An introduction to Bayesian networks. Berlin: Springer. ISBN 0-387-91502-8 
• Koller, D.; Friedman, N. (2009). Probabilistic Graphical Models. Massachusetts: MIT Press. pp. 1208. ISBN 0-262-01319-3 
• Pearl, Judea (1988). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems (2nd revised ed.). San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-479-0. MR0965765  A computational reasoning approach, where the relationships between graphs and probabilities were formally introduced.

ジャーナル記事

• Edoardo M. Airoldi (2007). “Getting Started in Probabilistic Graphical Models”. PLoS Computational Biology 3 (12): e252. doi:10.1371/journal.pcbi.0030252. PMC 2134967. PMID 18069887. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2134967/. 
• Jordan, Michael I. (2004). “Graphical Models”. Statistical Science 19 (1): 140–155. doi:10.1214/088342304000000026. ISSN 0883-4237. 

その他

• Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial
• A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks
• Sargur Srihari's lecture slides on probabilistic graphical models

関連項目

• 確率伝搬法
• 共分散構造分析

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
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