Całka Daniella-Stone’a

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja

Niech ${\displaystyle E}$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał ${\displaystyle \mu \in E^{\star }}$ nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej ${\displaystyle E\ni f\geqslant 0}$ zachodzi ${\displaystyle \mu (f)\geqslant 0.}$

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji ${\displaystyle E}$ nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny ${\displaystyle E}$ nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast ${\displaystyle \mu (f)}$ całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

${\displaystyle \int fd\mu ,\;\int \limits _{X}f(x)d\mu (x),\;\operatorname {(D)} \int fd\mu .}$

Przykłady

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie przedziałem liczbowym postaci ${\displaystyle [a,b];}$ E=C([a,b]), tzn. ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią funkcji ciągłych na ${\displaystyle [a,b].}$ W przypadku, gdy

${\displaystyle \mu (f):=\int \limits _{[a,b]}f(x)dx,}$

to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech ${\displaystyle E=C_{0}(X)}$ oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na ${\displaystyle X.}$ Jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego ${\displaystyle \mu }$ jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej ${\displaystyle X.}$
• W poprzednim przykładzie przyjmijmy ${\displaystyle X=\mathbb {N} .}$ Niech ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {N} )}$ będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla ${\displaystyle f\in C_{0}(\mathbb {N} )}$ można przyjąć

${\displaystyle \mu (f):=\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}$

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem niepustym oraz ${\displaystyle E}$ niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na ${\displaystyle X.}$ Ponadto niech dany będzie punkt ${\displaystyle x_{0}}$ ze zbioru ${\displaystyle X.}$ Dla ${\displaystyle f\in E}$ można zdefiniować ${\displaystyle \mu (f):=f(x_{0});}$ inne oznaczenie (por. delta Diraca), to

${\displaystyle \mu (f)=\delta _{x_{0}}(f).}$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce
• Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.brak strony w książce