Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa i całki Lebesgue’a, zachowujące wiele korzyści pierwszej z całek, a zarazem używające bardziej ogólnego języka teorii miary. Całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest zwykłą całką Lebesgue’a w stosunku do miary znanej jako miara Lebesgue’a-Stieltjesa, która może być zdefiniowana dla dowolnej funkcji o wahaniu ograniczonym określonej na prostej rzeczywistej. Każda miara Lebesgue’a-Stieltjesa jest miarą regularną i odwrotnie, każda miara regularna na prostej rzeczywistej jest tej postaci.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa, nazwana na cześć Henriego Leona Lebesgue’a i Thomasa Joannesa Stieltjesa, jest również znana jako całka Lebesgue’a-Radona lub po prostu całka Radona, od Johanna Radona, który wniósł istotny wkład w ich teorię. Znajdują powszechne zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa i procesach stochastycznych, a także w niektórych gałęziach analizy matematycznej, w tym w teorii potencjału.

Definicja

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

jest określona, gdy ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ jest mierzalna względem miary borelowskiej i ograniczona, a ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ ma wahanie ograniczone na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ i jest funkcją prawostronnie ciągłą lub gdy ${\displaystyle f}$ jest nieujemne, ${\displaystyle g}$ jest monotoniczna i prawostronnie ciągła. Na początek załóżmy, że ${\displaystyle f}$ jest nieujemne, a ${\displaystyle g}$ jest niemalejąca i prawostronnie ciągła. Zdefiniujmy ${\displaystyle w\left((s,t]\right)=g(t)-g(s)}$ oraz ${\displaystyle w\left(\{t\}\right)=0.}$ Alternatywnie dla funkcji ${\displaystyle g}$ lewostronnie ciągłej definiujemy ${\displaystyle w\left([s,t)\right)=g(t)-g(s)}$ oraz ${\displaystyle w\left(\{t\}\right)=0.}$

Na mocy twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzaniu miary istnieje jednoznacznie określona miara ${\displaystyle \mu _{g}}$ na borelowskich podzbiorach ${\displaystyle [a,b],}$ która jest zgodna z ${\displaystyle w}$ na każdym przedziale. Miara ${\displaystyle \mu _{g}}$ pochodzi od miary zewnętrznej danej wzorem:

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\},}$

gdzie infimum jest brane po wszystkich pokryciach zbioru ${\displaystyle E}$ przeliczalnie wieloma przedziałami otwartymi. Miara ta jest czasami nazywana miarą Lebesgue’a-Stieltjesa związaną z ${\displaystyle g}$^[1].

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

jest definiowana jako całka Lebesgue’a funkcji ${\displaystyle f}$ względem miary ${\displaystyle \mu _{g}}$ w zwykły sposób. Jeśli ${\displaystyle g}$ jest funkcją nierosnącą, to definiujemy

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x).}$

Całka po prawej stronie równania jest względem funkcji niemalejącej i już została zdefiniowana wcześniej.

Jeśli ${\displaystyle g}$ ma wahanie ograniczone i ${\displaystyle f}$ jest ograniczona, to można przedstawić ${\displaystyle g}$ w postaci różnicy dwóch funkcji niemalejących ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ i wtedy

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x).}$

Teraz całka Lebesgue’a-Stieltjesa względem ${\displaystyle g}$ jest zdefiniowana wzorem

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

gdzie dwie ostatnie całki zostały już zdefiniowane^[2].

Całka Daniella

Alternatywne podejście polega na zdefiniowaniu całki Lebesgue’a-Stieltjesa jako całki Daniella, która uogólnia zwykłą całkę Riemanna-Stieltjesa. Niech ${\displaystyle g}$ będzie niemalejącą prawostronnie ciągłą funkcją na ${\displaystyle [a,b]}$ i zdefiniujmy całkę Riemanna-Stieltjesa ${\displaystyle I(f)}$ jako

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

dla wszystkich funkcji ciągłych ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ Funkcjonał ${\displaystyle I}$ definiuje miarę Radona na ${\displaystyle [a,b].}$ Funkcjonał ten można następnie rozszerzyć na klasę wszystkich funkcji nieujemnych, ustalając

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leqslant f\leqslant h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leqslant f\right\}.\end{aligned}}}$

Dla funkcji borelowsko mierzalnych mamy

${\displaystyle {\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),}$

a każda strona tożsamości definiuje całkę Lebesgue’a-Stieltjesa z ${\displaystyle h.}$ Miarę zewnętrzną ${\displaystyle \mu _{g}}$ definiuje się wzorem

${\displaystyle \mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})}$

gdzie ${\displaystyle \chi _{A}}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle A.}$

W przypadku całkowania względem funkcji o wahaniu ograniczonym, podobnie jak wcześniej rozkładamy ją na różnicę dwóch funkcji niemalejących.

Przykład

Załóżmy, że ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ jest krzywą prostowalną na płaszczyźnie i ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )}$ jest borelowsko mierzalna. Następnie możemy zdefiniować długość krzywej ${\displaystyle \gamma }$ względem metryki euklidesowej pomnożonej przez ${\displaystyle \rho .}$ Wyraża się to wzorem:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),}$

gdzie ${\displaystyle \ell (t)}$ jest długością krzywej ${\displaystyle \gamma }$ ograniczonej do przedziału ${\displaystyle [a,t]}$ w standardowej metryce euklidesowej. Taka całka jest nazywana ${\displaystyle \rho }$-długością krzywej ${\displaystyle \gamma .}$ Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach. Rozważmy na przykład błotnisty teren, na którym prędkość, z jaką człowiek może się poruszać, zależy od położenia. Gdyby ${\displaystyle \rho (z)}$ oznaczało odwrotność tej prędkości w punkcie ${\displaystyle z,}$ to ${\displaystyle \rho }$-długość jest czasem potrzebnym na przejście wzdłuż krzywej ${\displaystyle \gamma .}$ Można to wykorzystywać w zagadnieniach wariacyjnych znajdowania drogi o najkrótszym czasie.

Całkowanie przez części

Funkcję ${\displaystyle f}$ będziemy nazywali regularną w punkcie ${\displaystyle a,}$ jeśli granice prawo- i lewostronna ${\displaystyle f(a^{+})}$ i ${\displaystyle f(a^{-})}$ istnieją, a do tego funkcja w ${\displaystyle a}$ przyjmuje wartość równą ich średniej arytmetycznej:

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a^{-})+f(a^{+})}{2}}.}$

Dla danych dwóch funkcji ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ o wahaniu skończonym, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z nich jest ciągła lub też obie są regularne, to zachodzi wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue’a-Stieltjesa^[3]:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv+\int _{a}^{b}v\,du=u(b^{+})v(b^{+})-u(a^{-})v(a^{-}),\qquad -\infty <a<b<\infty .}$

Tutaj odpowiednie miary Lebesgue’a-Stieltjesa są powiązane z prawostronnie ciągłymi modyfikacjami funkcji ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v,}$ czyli takimi, że ${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\lim _{t\to x+}u(t)}$ i podobnie ${\displaystyle {\tilde {u}}(x).}$ Ograniczony przedział ${\displaystyle (a,b)}$ można zastąpić przedziałem nieograniczonym ${\displaystyle (-\infty ,b),(a,\infty )}$ lub ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ pod warunkiem, że ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ mają wahanie ograniczone na tych przedziałach. Można również stosować ten wzór w stosunku do funkcji o wartościach zespolonych.

Inny ważny wynik, mający istotne znaczenie w analizie stochastycznej, jest następujący: niech ${\displaystyle u,v}$ będą funkcjami o wahaniu ograniczonych, które są prawostronnie ciągłe i mają lewostronne granice (tzw. funkcje càdlàg), wówczas

${\displaystyle u(t)v(t)=u(0)v(0)+\int _{(0,t]}u(s^{-})\,dv(s)+\int _{(0,t]}v(s^{-})\,du(s)+\sum _{x\in (0,t]}\Delta u_{x}\Delta v_{x},}$

gdzie ${\displaystyle \Delta u_{x}=u(x)-u(x^{-}).}$ Wynik ten może być postrzegany jako początek do wyprowadzenia wzoru Itô i ma zastosowanie w ogólnej teorii całkowania procesów stochastycznych. Ostatnim człon to w istocie ${\displaystyle \Delta u(x)v(x)=\;d\langle u,v\rangle ,}$ co wynika z definicji kowariancji kwadratowej ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v.}$

Pojęcia pokrewne

Całka Lebesgue’a

Jeśli ${\displaystyle g(x)=x}$ dla wszystkich rzeczywistych ${\displaystyle x,}$ to ${\displaystyle \mu _{g}}$ jest miarą Lebesgue’a na prostej, a całka Lebesgue’a-Stieltjesa funkcji ${\displaystyle f}$ względem ${\displaystyle g}$ jest równoważna całce Lebesgue’a z ${\displaystyle f.}$

Całka Riemanna-Stieltjesa i rachunek prawdopodobieństwa

Gdy ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a ${\displaystyle F}$ jest niemalejącą funkcją rzeczywistą, całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest równoważna całce Riemanna-Stieltjesa i często jest to zapisywane po prostu

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dF(x)}$

i rozumiane jako całka Lebesgue’a-Stieltjesa, a miara ${\displaystyle \mu _{F}}$ jest traktowana jako domyślna. Jest to szczególnie powszechne w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie ${\displaystyle F}$ jest dystrybuantą zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ o wartościach rzeczywistej i wówczas

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dF(x)=\mathrm {E} [f(X)].}$

Przypisy

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.
• Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and abstract analysis. Springer-Verlag, 1965.brak strony w książce
• Stanisław Saks: Theory of the Integral. 1937.brak strony w książce
• G.E. Shilov, B.L. Gurevich: Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach. trans. Dover Publications, 1978. ISBN 0-486-63519-8.brak strony w książce