Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny (dawniej postęp arytmetyczny) – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Zwykle zakładamy, że wyrazy ciągu arytmetycznego są liczbami rzeczywistymi, choć można rozważać również ciągi arytmetyczne o wyrazach zespolonych.

Definicja formalna i przykłady

Ciąg liczbowy ${\displaystyle (a_{n})}$ nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla pewnej liczby ${\displaystyle r}$ (nazywanej różnicą ciągu) zachodzi

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\ (a_{n+1}=a_{n}+r).}$

Równoważnie, ${\displaystyle (a_{n})}$ jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\ (a_{n+1}-a_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}).}$

Przykłady

• ciąg 1, 3, 5, 7, 9, ... jest arytmetyczny o różnicy 2,
• ciąg 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, ... nie jest arytmetyczny (${\displaystyle 3-1=2,}$ ale ${\displaystyle 4-3=1}$),
• dowolny ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 0.

Własności

• Ciąg arytmetyczny o różnicy ${\displaystyle r}$ ma następujący wzór ogólny^[1][2]:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r.}$

• Zatem aby wyznaczyć pierwszy wyraz ${\displaystyle a_{1}}$ ciągu arytmetycznego oraz jego różnicę ${\displaystyle r}$ wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.
• Trzy liczby ustawione w danej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych:

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}$

• Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest zawsze ciągiem monotonicznym – rosnącym, gdy różnica ciągu jest dodatnia, malejącym, gdy jest ujemna, lub stałym, gdy jest równa 0.

Suma skończonego ciągu arytmetycznego

Suma ${\displaystyle S_{n}}$ początkowych ${\displaystyle n}$ wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa średniej arytmetycznej wyrazów pierwszego i ${\displaystyle n}$-tego pomnożona przez liczbę wyrazów ${\displaystyle n}$^[1]:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n={\frac {2a_{1}+(n-1)r}{2}}n.}$

Formuła zbliżona do powyższej była podana w 1202 przez Leonarda z Pizy w jego dziele Liber abaci (rozdział II.12). Często jest powtarzana historia, według której Carl Friedrich Gauss miał odkryć formułę na sumę ciągu arytmetycznego w wieku siedmiu lat^[3].

Dowód wzoru

Wyraźmy sumę ${\displaystyle n}$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego dwoma sposobami:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+\ldots +(a_{1}+(n-2)r)+(a_{1}+(n-1)r)}$   oraz

${\displaystyle S_{n}=(a_{1}+(n-1)r)+(a_{1}+(n-2)r)+\ldots +(a_{1}+2r)+(a_{1}+r)+a_{1}}$

(gdzie po prawej stronie drugiego równania sumowane wyrazy ciągu wypisane są w odwrotnej kolejności).

Po dodaniu powyższych dwóch równań stronami otrzymamy

${\displaystyle 2S_{n}={\Big (}a_{1}+(a_{1}+(n-1)r){\Big )}+{\Big (}(a_{1}+r)+(a_{1}+(n-2)r){\Big )}+\ldots +{\Big (}(a_{1}+(n-3)r)+(a_{1}+2r){\Big )}+{\Big (}(a_{1}+(n-2)r)+(a_{1}+r){\Big )}+{\Big (}(a_{1}+(n-1)r)+a_{1}{\Big )}}$

a stąd

${\displaystyle 2S_{n}={\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+\ldots +{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}+{\Big (}2a_{1}+(n-1)r{\Big )}}$

i

${\displaystyle 2S_{n}=n(2a_{1}+(n-1)r).}$

Pamiętając, że ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r,}$ powyższą równość możemy przekształcić do:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)r]}{2}}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}.}$

Związek ciągu arytmetycznego z funkcją liniową

Istnieje ścisły związek pomiędzy ciągiem arytmetycznym a funkcją liniową ${\displaystyle y=ax+b.}$ Jeżeli do wzoru funkcji liniowej będziemy podstawiać kolejne wartości argumentów ${\displaystyle x}$ różniące się o stałą wartość, np. o 1, to otrzymane w ten sposób wartości funkcji liniowej utworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli kolejne argumenty ${\displaystyle x}$ będą różnić się o 1, to wartości funkcji liniowej będą różnić się o wartość współczynnika kierunkowego ${\displaystyle a.}$

Dowód:

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

${\displaystyle f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b}$

${\displaystyle r=f(x+1)-f(x)=(ax+a+b)-(ax+b)=a.}$

Jeżeli więc np. założymy, że dziedziną funkcji liniowej będzie zbiór liczb naturalnych dodatnich, to tak otrzymana funkcja będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy równej współczynnikowi kierunkowemu prostej ${\displaystyle (r=a).}$

Czyli ciąg wartości funkcji liniowej ${\displaystyle y=ax+b}$ dla kolejnych naturalnych ${\displaystyle x{:}}$

${\displaystyle a_{1}=f(1)}$

${\displaystyle a_{2}=f(2)}$

${\displaystyle a_{3}=f(3)}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle a_{n}=f(n)}$

będzie ciągiem arytmetycznym o wzorze ogólnym

${\displaystyle a_{n}=an+b.}$

Korzystając z tej własności, można na podstawie wzorów ogólnych ciągów arytmetycznych określić ich różnicę, np.:

${\displaystyle {\begin{array}{l}a_{n}=5n-3&(r=5)\\a_{n}=-2n+3&(r=-2)\\a_{n}=-n+4&(r=-1).\end{array}}}$

Przypisy

Zobacz publikację Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny w Wikibooks

Zobacz hasło ciąg arytmetyczny w Wikisłowniku