Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa, inaczej identycznościowa, tożsamościowa^[1] – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1\quad {\text{dla}}\quad i=j\\[2pt]0\quad {\text{dla}}\quad i\neq j\end{cases}}.}$

Skrótowo: ${\displaystyle a_{ij}=\delta _{ij},}$ gdzie ${\displaystyle \delta _{ij}}$ to symbol Kroneckera^[2]. Obrazowo: na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.

Macierz jednostkową zwykle oznacza się symbolem ${\displaystyle I.}$ Dla podkreślenia stopnia (wymiaru) macierzy pisze się też ${\displaystyle I_{n},}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną (oznaczającą liczbę wierszy i kolumn). Inne oznaczenia to ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle E_{n}}$^[3].

Macierz jednostkowa reprezentuje wersory z bazy standardowej danej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, np. przestrzeni euklidesowej: ${\displaystyle I_{n}=[{\vec {e}}_{1}\ {\vec {e}}_{2}\dots \ {\vec {e}}_{n}].}$ Oprócz tego macierz jednostkowa reprezentuje tożsamościowe odwzorowanie liniowe^[4].

Przykłady

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\;I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\;I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\;\dots ,\;I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{bmatrix}}}$

Własności

Własności układu wektorów

• Macierz jednostkowa wymiaru ${\displaystyle n}$ ma rząd równy ${\displaystyle n,}$ ponieważ parami różne wersory (jej kolumny) są liniowo niezależne. ${\displaystyle {\text{rz}}\ I_{n}=n}$^[1][2]. To samo dotyczy każdej innej niezerowej macierzy skalarnej i każdej innej macierzy diagonalnej niezawierającej zer na głównej przekątnej.

• Jej wyznacznik jest równy 1. ${\displaystyle \det \ I=|I|=1.}$ Jeśli wyznacznik jest zdefiniowany geometrycznie (zorientowana miara układu wektorów, np. zorientowane pole równoległoboku lub zorientowana objętość równoległościanu), to wynika to wprost z definicji. Jeśli wyznacznik jest definiowany aksjomatycznie (zwłaszcza nad ciałami innymi niż liczby rzeczywiste), to wartość 1 dla macierzy jednostkowej jest jednym z aksjomatów (jedną z definiujących cech)^[5].

• Jest równa swojej macierzy dopełnień algebraicznych i swojej macierzy dołączonej: ${\displaystyle I^{D}=I.}$

Własności odwzorowania liniowego

Własności ogólne

• Macierz jednostkowa reprezentuje identyczność^[4], dlatego przemnożenie jej przez dowolny wektor (kolumnowy) daje ten sam wektor. ${\displaystyle \forall {\vec {v}}\in \mathbb {K} ^{n}:I_{n}{\vec {v}}={\vec {v}}.}$

To samo dotyczy wektorów wierszowych (kowektorów). ${\displaystyle \forall \varphi \in (\mathbb {K} ^{n})^{*}:\varphi I_{n}=\varphi .}$

• Obrazem odwzorowania tożsamościowego jest cała przestrzeń, a jądrem – wektor zerowy. Innymi słowy jądro jest trywialne. ${\displaystyle {\text{im}}\ I_{n}=\mathbb {K} ^{n},\ker \ I_{n}=\{{\vec {0}}\}.}$

Własności mnożenia

• Macierze można mnożyć nie tylko przez wektory (kolumny) i kowektory (wiersze). Mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową daje w wyniku tę pierwszą: ${\displaystyle IA=AI=A}$^[2].

Macierz jednostkowa jest zatem elementem neutralnym pierścienia macierzy określonego stopnia. Równoważnie: reprezentuje jedynkę pierścienia endomorfizmów danej przestrzeni liniowej. Jest też jedynką pełnej grupy liniowej i jej wszystkich podgrup.

Bycie elementem neutralnym mnożenia można też przyjąć za definicję macierzy jednostkowej. Odpowiednie równania jednoznacznie wyznaczają jej elementy^{[potrzebny przypis]}.

• W szczególności: macierz jednostkowa jako identyczność komutuje ze wszystkimi elementami odpowiednich pierścieni i grup^[2]. ${\displaystyle [I,A]=O}$ dla pierścieni oraz ${\displaystyle [I,A]=I}$ dla grup, gdzie ${\displaystyle O}$ jest kwadratową macierzą zerową.

• Jako element neutralny mnożenia (składania) jest równa swojej macierzy odwrotnej: ${\displaystyle I^{-1}=I.}$ Innymi słowy jest przykładem inwolucji. Odwracanie jest możliwe, ponieważ spełnione są 3 równoważne warunki: rząd jest maksymalny ${\displaystyle (n),}$ wyznacznik jest niezerowy, a jądro jest trywialne.

• Jako element neutralny jest mnożenia (składania) równa swojemu kwadratowi i przez to wszystkim swoim potęgom (iteracjom): ${\displaystyle I^{2}=I\Rightarrow \forall p\in \mathbb {N} :I^{p}=I.}$ Innymi słowy jest idempotentna, czyli jest rzutem. W połączeniu z poprzednim faktem (inwolutywnością): wszystkie iteracje całkowite (nie tylko naturalne) są identyczne. Podany wzór zachodzi dla dowolnego wykładnika ${\displaystyle p}$ całkowitego ${\displaystyle (\forall p\in \mathbb {Z} ).}$

• Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy. ${\displaystyle p(I)=Ip(1),}$ podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi ${\displaystyle e^{I}=eI}$ – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.

• Macierz kwadratową ${\displaystyle A}$ wymiaru ${\displaystyle n}$ można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie ${\displaystyle A}$ przez inną macierz ${\displaystyle M}$ było wykonalne, potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy ${\displaystyle M}$ wynosił ${\displaystyle n.}$ Innymi słowy: dla każdego ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ wykonalne są działania ${\displaystyle A_{n}B_{n\times m}}$ i ${\displaystyle C_{m\times n}A_{n}.}$ W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli ${\displaystyle A_{n}=I_{n},}$ to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz: ${\displaystyle IB=B,CI=C.}$

• Macierze kwadratowe można pierwiastkować. Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej ${\displaystyle I}$ można oznaczyć przez ${\displaystyle I^{1/2}}$ i zdefiniować równaniem: ${\displaystyle (I^{1/2})^{2}=I.}$ Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:

${\displaystyle I_{2}^{1/2}={\begin{bmatrix}d&{\frac {1-d^{2}}{c}}\\c&-d\end{bmatrix}}}$

oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb ${\displaystyle d,c}$^{[potrzebny przypis]}.

Własności diagonalizacji

• Wektorem własnym odwzorowania tożsamościowego (i przez to macierzy jednostkowej) jest każdy wektor: ${\displaystyle I{\vec {v}}=1\cdot {\vec {v}}.}$ Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Ta sama własność dotyczy wszystkich innych niezerowych macierzy skalarnych. Dla macierzy jednostkowej jedyną wartością własną jest 1 – ta liczba to całe widmo macierzy (spektrum).

• Macierz jednostkowa jest przez to diagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.

• Wielomian charakterystyczny macierzy jednostkowej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy 1). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy. ${\displaystyle p_{I}(\lambda )=(\lambda -1)^{n}}$^[a]. Wielomian minimalny to w tym wypadku funkcja liniowa: ${\displaystyle \mu _{I}(\lambda )=\lambda -1.}$ Analogicznie jest dla każdej niezerowej macierzy skalarnej.

• Ślad macierzy jednostkowej (i odwzorowania tożsamościowego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy. ${\displaystyle {\text{tr}}\ I_{n}=n.}$

Własności związane z iloczynami skalarnymi

• Macierz jednostkowa jest macierzą symetryczną, czyli równą swojej transpozycji: ${\displaystyle I^{T}=I.}$ Odpowiadające jej przekształcenie tożsamościowe ${\displaystyle (id)}$ jest reprezentowane przez tę samą macierz co jego odwzorowanie dualne: ${\displaystyle [id]=[id^{*}].}$ Zachodzi tożsamość ${\displaystyle \langle Iu,v\rangle =\langle u,Iv\rangle ,}$ gdzie ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ to iloczyn skalarny, a ${\displaystyle u,v}$ to wektory odpowiedniej przestrzeni.

• Jako macierz symetryczna ma same rzeczywiste wartości własne, które wspomniano wyżej (równe 1). Jest macierzą dodatnio określoną – jej wartości własne są dodatnie, a zadana forma kwadratowa jest dodatnio określona. Jest nią zwykły kwadrat modułu wektora. Zadaną formą dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną jest „zwykły” euklidesowy iloczyn skalarny.

• Jako macierz symetryczna (nad ciałem liczb rzeczywistych) jest też automatycznie hermitowska nad ciałem liczb zespolonych, w kontekście półtoraliniowego iloczynu skalarnego. ${\displaystyle I^{\dagger }=I.}$

• Jako macierz diagonalna spełnia warunki antysymetrii dla wyrazów pozadiagonalnych: ${\displaystyle i\neq j\Rightarrow a_{ij}=-a_{ij}=0.}$ Mimo to nie jest macierzą antysymetryczną, bo jej wyrazy diagonalne są niezerowe: ${\displaystyle \exists i\in \{1,\dots ,n\}:a_{ii}\neq 0.}$

• Macierz jednostkowa jest jednocześnie ortogonalna: jej kolumny (oraz wiersze) są parami ortogonalne (prostopadłe), a w dodatku tworzą układ ortonormalny: ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\delta _{ij}.}$ Jej macierz odwrotna jest równa transpozycji: ${\displaystyle I^{-1}=I^{T}=I.}$ Zachowuje rzeczywisty iloczyn skalarny: ${\displaystyle \langle Iu,Iv\rangle =\langle u,v\rangle .}$

• Jako macierz ortogonalna jest też automatycznie unitarna. ${\displaystyle I^{-1}=I^{\dagger }=I.}$ Półtoraliniowy zespolony iloczyn skalarny również jest zachowany.

Uogólnienia

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej, a przez to: macierzy diagonalnej^[3]:

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$

Przez to jest też szczególnym przypadkiem macierzy trójkątnej i macierzy schodkowej. Niezależnie od tego, jako macierzy diagonalna jest szczególnym przykładem macierzy wstęgowej i ma postać kanoniczną Jordana. Można ją też zaliczać do macierzy operacji elementarnych.

Jedynki i zera w macierzy jednostkowej nie muszą być koniecznie liczbami całkowitymi. To wyróżnione elementy ciała ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ nad którym zdefiniowano macierz i odpowiednią przestrzeń liniową ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n},}$ do której należą kolumny i wiersze macierzy. Przykładowo 1 i 0 mogą oznaczać funkcje stałe lub reszty z dzielenia (elementy ciał skończonych). Przestrzenie liniowe nad ciałami uogólniają się na moduły nad pierścieniami z jedynką, dlatego elementy macierzy jednostkowej mogą należeć do odpowiedniego pierścienia.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. A. Ehrenfeucht i A. W. Mostowski (tłum.). Wyd. II poprawione. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963.

Rozdział VII. Wektory i przestrzenie wektorowe, § 6. Kryteria zależności liniowej,

Rozdział VIII. Algebra macierzy, § 3. Mnożenie macierzy.

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Jerzy Trzeciak (tłum.). Cz. 1: Podstawy algebry. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2011. ISBN 978-83-01-14252-0.

Rozdział I. Początki algebry, § 3. Układy równań liniowych. Pierwsze kroki,

Rozdział II. Macierze, § 3. Przekształcenia liniowe. Działania na macierzach,

Rozdział III. Wyznaczniki, § 4. Uwagi o konstrukcji teorii wyznaczników.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Identity Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-11-24]  (ang.).