Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność między średnimi uogólnionymi) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy’ego między średnimi, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.
Definicja i twierdzenie
| Tę sekcję należy dopracować:Dokładne sprawdzenie przypadku Może rozszerzenie twierdzenia i dowodu na przez przyjęcie (z granicy x→0)?.Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji. |
Średnią potęgową rzędu
liczb
definiuje się jako:
dla ![{\displaystyle p\in \mathbb {R} \setminus \{0\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4406eaa5a475e525dfdc15aa472831295584d87)
![{\displaystyle \mu _{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868e07ca9c75e9f6e50d794f55b8fb1761dd460f)
![{\displaystyle \mu _{-\infty }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914a90e96c462e26781b5de6062c80d058b1a1b0)
![{\displaystyle \mu _{+\infty }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9cfe902d3194f0661205c95f79460b6c03bd1f)
Przykładowo, dla
otrzymujemy średnią arytmetyczną, dla
średnią geometryczną, dla
średnią harmoniczną, dla
średnią kwadratową.
- Twierdzenie
Niech
i niech dane będzie
liczb
(jeśli ograniczamy się do rzędów
można przyjąć
).
Wówczas średnia potęgowa rzędu
liczb
jest nie większa od ich średniej potęgowej rzędu
czyli
![{\displaystyle \mu _{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leqslant \mu _{q}(x_{1},\dots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e0b8fc4555de5af5be82226bfec38eb56d33fd)
Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby
są wszystkie równe.
- Wniosek
Dla dowolnych liczb dodatnich
funkcja
![{\displaystyle \mathbb {R} \ni t\mapsto \mu _{t}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65dfc24750a18baa9dbdd39b3a936f42348ca147)
jest funkcją niemalejącą. Więcej: można pokazać, że jest stała lub ściśle rosnąca.
Przykład
Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że
- jeśli
oraz
to ![{\displaystyle a+b+c\leqslant 9.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b88c478358bd50b0c71b5bd6adb88dae54c68f)
W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy
![{\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}\leqslant \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}=3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8183bb4e0952d13433bec11e65855fa7d38ee0d4)
co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.
Dowód
Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi
spełniają warunki:
![{\displaystyle w_{i}\in (0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263ed1a6035930fc427e00312fc423289a653e3f)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577a9c9361d78b64509804db0ca95379b97695ae)
Średnia geometryczna
Dla dowolnego
nierówność między średnią rzędu
i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176003bf2cfe8be5058f3262f6d60fe7e48be652)
![{\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cb31789a3c862b188c265291385ff23ecb676f)
(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla
druga w przeciwnym wypadku)
podnosimy obustronnie do potęgi
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fbd8dc0bd01fc752ce6282ca35cbe615281e8c)
i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu
którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leqslant \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17228526cc049902277a725b55988eb2687371c)
![{\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2020872b37e3721faa5c2d3ad5d3c9f85e762a44)
Po złożeniu obu stron nierówności z (rosnącą) funkcją wykładniczą
uzyskuje się żądaną nierówność:
![{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0def2af9ad0c530014f60e65c019fd58ad73e1ee)
Stąd dla dowolnego dodatniego
zachodzi:
![{\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f026de2b949880d0ad96fe93931d1dfa1030eb9e)
tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową a średnią geometryczną.
Średnia geometryczna jako granica
Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47460bfbe6fbc7fd96ebbb7662dd3ae390133b40)
Granice licznika i mianownika są, odpowiednio, równe 0, więc z reguły de l’Hospitala wynika, iż:
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f659d1fd1bb8aeded3f343bfb919c41236b95d8)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda977aa17ceb6412da17e3394a644349b883285)
Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:
![{\displaystyle \lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e696e3f5060ef5ab2b96fbe913e210f2767036)
co kończy dowód.
Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi
Chcemy udowodnić, że dla dowolnych
zachodzi:
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c52f9073255fa77df99aea61d33c9738091a56)
w przypadku kiedy
jest ujemne, a
dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb16b7454a8c337ca3ff92f82301c1c9d4aa78c)
Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich
i
Weźmy funkcję
Oczywiście
jest rosnąca, bo
/
jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną:
która jest zawsze dodatnia, bo
>
z czego wynika wypukłość
Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:
![{\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab763ab561a8ed7e065927890ea4f8879b54133d)
![{\displaystyle {\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc6c30617ecc710c57f8caec82147b8eb4bd308)
po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka
-tego stopnia (funkcja rosnąca, bo
> 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich
i
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c52f9073255fa77df99aea61d33c9738091a56)
Jeśli rozważamy rzędy
ujemne, wówczas
więc można podstawiając
bez straty ogólności uzyskać:
![{\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb437f195ef44ba4e1ca07b23cda696d7e0dc2cc)
Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):
![{\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geqslant {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad6366b53b371a31769e097f5676554698768ec)
A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych
i
co kończy dowód.
Minimum i maksimum
Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów
Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest następujący:
Niech
będzie największym, a
najmniejszym z
Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c477b9d3a7016b70d477457b87e94843d30197f)
Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leqslant {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a212bae0dbc5c1d1d20947ae4978fb47e7020d3)
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leqslant {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3384bc39d383bba9da2f8cc6e460ff09ba8c9eea)
Następnie korzystając z udowodnionej granicy:
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\left(\ln(x_{1}^{p})+\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96b45045f0073884bbaeab7f378c94c4831a409)
![{\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d9e4ed716b9597c19628be7a1713cc02b803b9)
Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b13b4baa39ead33a62ff2333a5607f22680c91)
Analogicznie dla ujemnych
![{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859fb007a7a4a96a5c8a9ea5085b1f84b0eff2f3)
bo (wciąż dla
):
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geqslant {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be71e52eb5336d7036ecd44de539c8f594f1e04f)
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geqslant {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd17dc4832c5d048f8f58e4ab77a1d485a61ca5)
Stąd:
![{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6cc59f5c83bacf451d9a16e978b861305c27bd)
I w końcu analogicznie:
![{\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec4ddc85e62fb0e0f46d98abb8801941596d052)
Zobacz też