Para dwoista

Para dwoista albo dualna – w algebrze liniowej para modułów nad ustalonym pierścieniem z formą dwuliniową określoną na ich iloczynie kartezjańskim i nazywaną dalej „parowaniem” oznaczanym symbolem ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ;}$ „parowaniem” nazywa się również samą konstrukcję pary dwoistej (oraz wynik tej operacji). Para dualna nazywana jest doskonałą, jeżeli jej parowanie jest niezdegenerowane^[a] (jeśli powstała para dwoista jest doskonała, to parowanie również nazywa się wtedy doskonałym). Doskonałe pary dualne umożliwiają utożsamienie jednego modułu z modułem dualnym do drugiego, a więc rozpoznanie danego modułu jako dualnego do innego nawet wtedy, gdy nie został on pierwotnie zdefiniowany w ten sposób.

Przestrzeń euklidesową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ utożsamia się zwykle z jej przestrzenią dualną za pomocą standardowego iloczynu skalarnego; ponieważ jest on dodatnio określoną, a więc niezdegenerowaną formą dwuliniową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,}$ to parowanie to jest doskonałe. Utożsamienie to przyczyniło się prawdopodobnie do pewnego zastoju rozwoju algebry liniowej, gdyż dostrzeżenie, że przestrzeń dualna może być sama w sobie przedmiotem badań, wymaga pewnej wnikliwości w przypadku przestrzeni euklidesowych, gdzie nie różni się ona niczym od przestrzeni wyjściowej^[b]. To, że przestrzeń sprzężona jest obiektem samodzielnym względem oryginalnej przestrzeni zauważono po raz pierwszy w kontekście analizy funkcjonalnej, gdzie bada się zwykle pary doskonałe przestrzeni liniowych nad wspólnym ciałem. Umożliwiają one mianowicie rozpoznanie struktury ważniejszych z punktu widzenia tej dziedziny przestrzeni sprzężonych topologicznie (przestrzeni ciągłych funkcjonałów liniowych nazywanych dalej „przestrzeniami sprzężonymi”), a nie zwykle dużo większych od nich przestrzeni sprzężonych algebraicznie (przestrzeni wszystkich funkcjonałów liniowych nazywanych dalej „przestrzeniami dualnymi”)^[c] – przykładowo przestrzenie sprzężone do przestrzeni funkcji ciągłych są przestrzeniami miar, a więc funkcji nieciągłych.

Przykłady

• W dowolnym module ${\displaystyle R^{n}}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R}$ (standardowy) iloczyn skalarny definiuje się podobnie jak w przypadku przestrzeni euklidesowych, tzn. wzorem ${\displaystyle \textstyle \langle {\mathsf {x}},{\mathsf {y}}\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathsf {r}}=(r_{1},\dots ,r_{n})}$ jest elementem tego modułu^[d]; w szczególności dla ${\displaystyle n=1}$ parowanie realizowane jest przez zwykłe mnożenie.
• W przestrzeni macierzy kwadratowych ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$ stopnia ${\displaystyle n}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R}$ istnieją dwa „naturalne” parowania: ${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle =\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )}$ oraz ${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle =\mathrm {tr} \left(\mathbf {AB} ^{\mathrm {T} }\right)}$^[e]; macierze te można interpretować jako reprezentacje endomorfizmów przestrzeni liniowej (definicję tę można rozszerzyć na endomorfizmy dowolnych przestrzeni). Podobnie można zdefiniować parę dwoistą dla przestrzeni macierzy ${\displaystyle \mathrm {M} _{m\times n}(R)}$ i ${\displaystyle \mathrm {M} _{n\times m}(R)}$ (i odpowiadających im przekształceń liniowych).
• Jeśli ${\displaystyle R=\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-14}}\right],}$ a ${\displaystyle I=\left(3,1+{\sqrt {-14}}\right)}$ oraz ${\displaystyle J=\left(3,1-{\sqrt {-14}}\right)}$ są jest ideałami tego pierścienia, to równość ${\displaystyle IJ=(3)=3R}$ umożliwia wskazanie izomorfizmów ${\displaystyle I^{\star }\simeq J}$ oraz ${\displaystyle J^{\star }\simeq I}$ traktowanych jako ${\displaystyle R}$-moduły, przez co ${\displaystyle I}$ i ${\displaystyle J}$ można uważać za moduły dualne względem siebie; innymi słowy zachodzi parowanie ${\displaystyle I\times J\to R}$ między tymi modułami dane wzorem ${\displaystyle \langle {\mathsf {x}},{\mathsf {y}}\rangle ={\mathsf {xy}}/3.}$
• Niech ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} [\mathrm {X} ]\times \mathbb {R} [\mathrm {X} ]\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {X} ]}$ jest pierścieniem wielomianów, będzie dane wzorem ${\displaystyle \langle \mathrm {f} ,\mathrm {g} \rangle =\mathrm {f} (0)\mathrm {g} (0).}$ Dla dowolnego ${\displaystyle \mathrm {g} }$ zachodzi ${\displaystyle \langle \mathrm {X} ,\mathrm {g} \rangle =0,}$ choć ${\displaystyle \mathrm {X} \neq \mathrm {0} }$ w ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {X} ];}$ ogólniej: ${\displaystyle \langle \mathrm {f} ,\mathrm {g} \rangle =0}$ dla dowolnego ${\displaystyle \mathrm {g} ,}$ o ile ${\displaystyle \mathrm {X} |\mathrm {f} .}$
• Parowanie ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times M^{\star }\to R}$ dane wzorem ${\displaystyle \langle {\mathsf {m}},\varphi \rangle =\varphi ({\mathsf {m}})}$ jest standardowym parowaniem między modułem a modułem do niego dualnym.
• W analizie definiuje się dla wykładników sprzężonych ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ parowanie ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}[0,1]\times \mathrm {L} ^{q}[0,1]\to \mathbb {R} }$ dane wzorem ${\displaystyle \textstyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x)g(x)\mathrm {d} x,}$ gdzie ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$ oznacza przestrzeń Lebesgue’a.
• W topologii rozważa się parowanie ${\displaystyle \Omega ^{1}(X)\times H^{1}(X,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }$ form różniczkowych i klas kohomologii określonych na rozmaitości ${\displaystyle X}$ zadane jako całkowanie ${\displaystyle \textstyle \langle \omega ,\gamma \rangle =\int _{\gamma }\omega ..}$
• Istnieje naturalne parowanie ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Omega _{c}^{k}(X)\times \Omega _{c}^{n-k}(X)\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle \Omega _{c}^{k}(X)}$ oznacza przestrzeń ${\displaystyle k}$-form różniczkowych określonych na nośniku zwartym ${\displaystyle X}$ będącym rzeczywistą rozmaitością różniczkową skończonego wymiaru ${\displaystyle n,}$ które ma postać ${\displaystyle \textstyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{X}=\int _{X}\alpha \wedge \beta .}$

Własności

Algebra

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {Bil} _{R}(M,N;R)}$ oznacza ${\displaystyle R}$-moduł form dwuliniowych ${\displaystyle M\times N\to R,}$ to moduły ${\displaystyle \mathrm {Bil} _{R}(M,N;R),}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}\left(M,N^{\star }\right),}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}\left(N,M^{\star }\right)}$ są izomorficzne^[f].

Niech ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times N\to R}$ będzie parowaniem między ${\displaystyle R}$-modułami ${\displaystyle M,N.}$ Może być ono wykorzystane do postrzegania jednego z tych modułów jako „części” modułu dualnego do drugiego: dla każdego ${\displaystyle {\mathsf {m}}\in M}$ wzór ${\displaystyle {\mathsf {n}}\mapsto \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle }$ definiuje funkcjonał na ${\displaystyle N,}$ podobnie dla każdego ${\displaystyle {\mathsf {n}}\in N}$ wzór ${\displaystyle {\mathsf {m}}\mapsto \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle }$ jest funkcjonałem na ${\displaystyle M.}$ Może się zdarzyć, że ${\displaystyle \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle =0}$ dla wszystkich ${\displaystyle n}$ przy ${\displaystyle m\neq 0}$ (zob. czwarty przykład); wynika stąd, że różne elementy ${\displaystyle M}$ zachowują się jak jeden element ${\displaystyle N^{\star }.}$ Jeśli parowanie jest doskonałe, tzn. indukowane przekształcenia liniowe ${\displaystyle M\to N^{\star }}$ i ${\displaystyle N\to M^{\star }}$ są jednocześnie izomorfizmami, to taka sytuacja nie może mieć miejsca – umożliwia to utożsamienie jednego modułu z „pełnym” modułem dualnym do drugiego modułu.

Jeśli ${\displaystyle M,N}$ są skończenie generowanymi modułami wolnymi tej samej rangi, to sprawdzenie doskonałości parowania między nimi wymaga zbadania izomorficzności przekształcenia indukowanego ${\displaystyle M\to N^{\star };}$ przekształcenie ${\displaystyle N\to M^{\star }}$ będzie wówczas izomorfizmem, gdyż jest ono dualne do poprzedniego (zamiast izomorficzności wystarczy zbadać, czy homomorfizm liniowy jest epimorfizmem). W przypadku przestrzeni liniowych tego samego skończonego wymiaru wystarczy sprawdzić różnowartościowość (tj. niezdegenerowanie: ${\displaystyle \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle =0}$ dla wszystkich ${\displaystyle {\mathsf {n}},}$ tylko gdy ${\displaystyle {\mathsf {m}}=0}$ lub równoważnie dla ${\displaystyle {\mathsf {m}}\neq 0}$ istnieje ${\displaystyle {\mathsf {n}},}$ dla którego ${\displaystyle \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle \neq 0}$), gdyż różnowartościowe przekształcenie liniowe między przestrzeniami liniowymi równego wymiaru jest izomorfizmem.

Parowania w przykładach czwartym, piątym i szóstym nie są doskonałe; parowanie w przykładzie piątym jest doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie naturalne ${\displaystyle M\to M^{\star \star }}$ jest izomorfizmem, tzn. moduł ${\displaystyle M}$ jest refleksywny; parowanie w przykładzie szóstym jest doskonałe, jeśli wykorzystać przestrzeń sprzężoną zamiast dualnej (tzn. przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych). Powyższa uwaga dotycząca przykładu piątego wynika z ogólnej obserwacji: istnienie parowania doskonałego między ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle N}$ pociąga za sobą izomorficzność przekształcenia naturalnego ${\displaystyle M\to M^{\star \star }.}$ W ten sposób elementami pary doskonałej mogą być wyłącznie moduły refleksywne.

Analiza

 Osobne artykuły: przestrzeń topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna i topologie słaba oraz *-słaba.

Niech ${\displaystyle X,Y}$ będą przestrzeniami liniowymi (tzn. modułami) nad wspólnym ciałem. Doskonałe parowanie między ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ wyznacza na tych przestrzeniach topologie odpowiednio ${\displaystyle \tau (X,Y)}$ oraz ${\displaystyle \tau (Y,X),}$ które składają się odpowiednio z otoczeń

${\displaystyle U_{y}(\varepsilon )={\big \{}x\in X\colon \langle x,y\rangle <\varepsilon {\big \}}_{\begin{smallmatrix}y\in Y\\\varepsilon >0\end{smallmatrix}}\quad {\mbox{ oraz }}\quad V_{x}(\varepsilon )={\big \{}y\in Y\colon \langle x,y\rangle <\varepsilon {\big \}}_{\begin{smallmatrix}x\in X\\\varepsilon >0\end{smallmatrix}}}$

oraz ich skończonych przecięć i nieskończonych sum (zob. baza otoczeń); wspomniane topologie czynią z ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (sprzężone względem siebie).

W przypadku przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ i sprzężonej do niej przestrzeni ${\displaystyle X^{*}}$ topologie ${\displaystyle \tau (X,X^{*})}$ oraz ${\displaystyle \tau (X^{*},X)}$ nazywa się odpowiednio słabą oraz *-słabą. Dowolna przestrzeń Hilberta jest sprzężona względem siebie („samosprzężona”) z iloczynem skalarnym jako parowaniem (doskonałym). Każda przestrzeń lokalnie wypukła (w szczególności przestrzeń unormowana) ${\displaystyle X}$ jest sprzężona do ${\displaystyle X^{*}}$ ze względu na formę dwuliniową ${\displaystyle \langle x,x^{*}\rangle \mapsto x^{*}(x),}$ gdzie ${\displaystyle x\in X}$ oraz ${\displaystyle x^{*}\in X^{*},}$ daną standardowo, czyli jako wartość funkcjonału ${\displaystyle x^{*}}$ dla elementu ${\displaystyle x.}$

Uwagi

Bibliografia

• Grzegorz Cieciura: Konspekt do wykładu z Algebry „C”. Warszawa: Katedra Metod Matematycznych Fizyki – Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego, 2001, s. 108–113.