Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny – trójkąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość^[1]; szczególny przypadek trójkąta równoramiennego. Jest przykładem wielokąta foremnego.

Niech ${\displaystyle a}$ oznacza bok trójkąta równobocznego. Wówczas trójkąt ma następujące własności:

• każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ },}$

• obwód wynosi:

${\displaystyle L=3a,}$

• wysokość ma długość^[2]:

${\displaystyle h={\frac {a~{\sqrt {3}}}{2}}\approx 0{,}866~a,}$

• pole powierzchni jest równe^[2]:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}~{\sqrt {3}}}{4}}\approx 0{,}433~a^{2},}$

• długość promienia okręgu wpisanego wynosi^[2]:

${\displaystyle r={\frac {1}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}\approx 0{,}289~a,}$

• długość promienia okręgu opisanego wynosi^[2]:

${\displaystyle R={\frac {2}{3}}h={\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0{,}577~a,}$

• jego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi, symetralnymi i środkowymi oraz dzielą się wzajemnie w stosunku 1 : 2.

Zależności liczbowe w trójkącie równobocznym

Niech dodatkowo ${\displaystyle L_{r},L_{R}}$ oznaczają odpowiednio obwód okręgu wpisanego i opisanego, zaś ${\displaystyle S_{r},S_{R}}$ – odpowiednio pole koła wpisanego i opisanego.

${\displaystyle =}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle S}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle L_{r}}$	${\displaystyle L_{R}}$	${\displaystyle S_{r}}$	${\displaystyle S_{R}}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {2h{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {S{\sqrt {3}}}{3}}}}$	${\displaystyle 2r{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle R{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {L_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {L_{R}{\sqrt {3}}}{2\pi }}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {3S_{r}}{\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3S_{R}}{\pi }}}}$
${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$	${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle 3r}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}R}$	${\displaystyle {\frac {3L_{r}}{2\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {3L_{R}}{4\pi }}}$	${\displaystyle 3{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}}$
${\displaystyle S}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle S}$	${\displaystyle 3r^{2}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {3R^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3{L_{r}}^{2}{\sqrt {3}}}{4\pi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {3{L_{R}}^{2}{\sqrt {3}}}{16\pi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {3S_{r}{\sqrt {3}}}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {3S_{R}{\sqrt {3}}}{4\pi }}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle {\frac {a{\sqrt {3}}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}h}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}{3}}}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}R}$	${\displaystyle {\frac {L_{r}}{2\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {L_{R}}{4\pi }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {S_{R}}{4\pi }}}}$
${\displaystyle R}$	${\displaystyle {\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}h}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}}$	${\displaystyle 2r}$	${\displaystyle R}$	${\displaystyle {\frac {L_{r}}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {L_{R}}{2\pi }}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {S_{r}}{\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {S_{R}}{\pi }}}}$
${\displaystyle L_{r}}$	${\displaystyle {\frac {\pi a{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}}$	${\displaystyle 2\pi r}$	${\displaystyle \pi R}$	${\displaystyle L_{r}}$	${\displaystyle {\frac {L_{R}}{2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {\pi S_{r}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi S_{R}}}}$
${\displaystyle L_{R}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi a{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi {\sqrt {S{\sqrt {3}}}}}{3}}}$	${\displaystyle 4\pi r}$	${\displaystyle 2\pi R}$	${\displaystyle 2L_{r}}$	${\displaystyle L_{R}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {\pi S_{r}}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {\pi S_{R}}}}$
${\displaystyle S_{r}}$	${\displaystyle {\frac {\pi a^{2}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi h^{2}}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi S{\sqrt {3}}}{9}}}$	${\displaystyle \pi r^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{L_{r}}^{2}}{4\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {{L_{R}}^{2}}{16\pi }}}$	${\displaystyle S_{r}}$	${\displaystyle {\frac {S_{R}}{4}}}$
${\displaystyle S_{R}}$	${\displaystyle {\frac {\pi a^{2}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi h^{2}}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi S{\sqrt {3}}}{9}}}$	${\displaystyle 4\pi r^{2}}$	${\displaystyle \pi R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {{L_{r}}^{2}}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {{L_{R}}^{2}}{4\pi }}}$	${\displaystyle 4S_{r}}$	${\displaystyle S_{R}}$

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Trójkąt równoboczny

Zobacz hasło trójkąt równoboczny w Wikisłowniku

• twierdzenie trysekcji Morleya

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Trójkąt równoboczny na Matematicus.pl
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Equilateral Triangle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].