Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego[a] – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku)[1], przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników[6].

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.

Twierdzenie

Niech dany będzie układ równań liniowych A X = B , {\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {B} ,} gdzie rząd macierzy A {\displaystyle \mathbf {A} } typu m × n {\displaystyle m\times n} (co oznacza, że n {\displaystyle n} jest liczbą niewiadomych, a m {\displaystyle m} określa liczbę równań) wynosi r , {\displaystyle r,} z macierzą rozszerzoną U = [ A | B ] {\displaystyle \mathbf {U} =[\mathbf {A} |\mathbf {B} ]} rzędu s . {\displaystyle s.} Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r = s . {\displaystyle r=s.}

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od n − r {\displaystyle n-r} parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku r = s = n {\displaystyle r=s=n} rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od n − r {\displaystyle n-r} parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj. X = 0 . {\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {0} .}

Dowód

Niech a 1 , … , a n {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}} będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy A , {\displaystyle \mathbf {A} ,} zaś wektorom kolumnowym X , B {\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {B} } odpowiadają wektory x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})} oraz b . {\displaystyle \mathbf {b} .} Wektor x {\displaystyle \mathbf {x} } jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 a 1 + … + x n a n = b , {\displaystyle x_{1}\mathbf {a} _{1}+\ldots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} ,} co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy b {\displaystyle \mathbf {b} } należy do powłoki liniowej l i n ( a 1 , … , a n ) , {\displaystyle \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}),} co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora b , {\displaystyle \mathbf {b} ,} tj. dim ⁡ l i n ( a 1 , … , a n ) = dim ⁡ l i n ( a 1 , … , a n , b ) . {\displaystyle \dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})=\dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n},\mathbf {b} ).} Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy A {\displaystyle \mathbf {A} } oraz U {\displaystyle \mathbf {U} } mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Spotykana forma nazwiska Cappellego, mianowicie „Capelliego” jest błędna, co wyjaśnia Słownik ortograficzny języka polskiego wraz z zasadami pisowni i interpunkcji (wydany w 1981 przez PWN) na stronie 137.

Przypisy

  1. ↑ Dot. pracy „Twierdzenie do rozważań o układzie n {\displaystyle n} równań pierwszego rzędu o n {\displaystyle n} niewiadomych”, Théorème pour la discussion d’un système de n {\displaystyle n} équations du premier degré à n {\displaystyle n} inconnues. „Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale”. 2 (14), s. 481–487, 1875. 
  2. ↑ W pracy Sur la discussion des equations du premier degré („O rozważaniu równań pierwszego stopnia”) w Comptes rendus de l’Académie des sciences (tom 81, s. 1050).
  3. ↑ Praca Note sur les équations linéaires w Journal de l’École polytechnique.
  4. ↑ Np. Zur Theorie der linearen Gleichungen wydanej w 1905 roku w piśmie Journal für die reine und angewandte Mathematik.
  5. ↑ W swej pracy Sopra la compatibilitá o incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite z 1892 roku wydanej w Revista di Matematica (tom 2, s. 54–58).
  6. ↑ Prowadzonych na Uniwersytecie Berlińskim w latach 1883–1891, wydanych w Lipsku w 1903 roku pt. Vorlesungen über die Theorie der Determinanten.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Kronecker-Capelli theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
  • p
  • d
  • e
Wektory i działania na nich
Układy wektorów i ich macierze
Wyznaczniki i miara układu wektorów
Przestrzenie liniowe
Odwzorowania liniowe
i ich macierze
Diagonalizacja
Iloczyny skalarne
Pojęcia zaawansowane
Pozostałe pojęcia
Powiązane dyscypliny
Znani uczeni

  • VLE: kroneckerio-ir-capelli-teorema