Współczynnik rozszerzalności

Współczynnik rozszerzalności – wielkość charakterystyczna dla danej substancji ilościowo charakteryzująca jej rozszerzalność cieplną. Jest to stała materiałowa, której wartość jest względną zmianą rozmiarów ciała przy zmianie temperatury o 1 K. Współczynnik rozszerzalności jest nieliniową funkcją temperatury. Dla większości materiałów zależność ta jest słaba, dlatego w niezbyt dużym zakresie temperatur wartość tego współczynnika można uznać za stałą.

W zależności od stanu skupienia i geometrii ciała złożonego z danej substancji, wyróżnia się współczynnik rozszerzalności liniowej i objętościowej.

Współczynnik rozszerzalności liniowej

Dla ciał stałych określa się zazwyczaj współczynnik charakteryzujący względną zmianę rozmiarów liniowych, czyli współczynnik rozszerzalności liniowej. Zdefiniowany jest on wzorem

α = Δ l l 1 Δ T , {\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta l}{l}}{\frac {1}{\Delta T}},}

gdzie:

l {\displaystyle l} – dowolny wymiar liniowy ciała (długość, szerokość, wysokość, grubość),
Δ l {\displaystyle \Delta l} – zmiana tego wymiaru na skutek zmiany temperatury,
Δ T {\displaystyle \Delta T} – zmiana temperatury ciała.

Wartości współczynników rozszerzalności liniowej dla wybranych substancji

Substancja Zakres temperatur
[°C] 		  α
[10−6/K]
bizmut 17–100 13,5
brąz 20 18
chrom 0–100 8,4
cynk 18–100 27
gips (kryształ) 12–25 25
grafit 50 6,5
inwar 17–100 0,44
iryd 17–100 6,6
kadm 18–43 24,7
kaolin 15–1000 5,31
konstantan 0–16 12,2
krzem 3–18 2,5
kwarc topiony 0–80 0,43
manganin 18 18,1
marmur (biały) 15–100 2
miedź 18 16,5[1]
molibden 0–100 5,2
nikiel 0–100 13
ołów 17–100 29,3
potas 0–50 83
rod 6–21 8,76
selen 0–60 58,4
siarka rombowa 13–50 74,33
sód 0–50 72
srebro 0–100 18,7
szkło crown 0–100 9
szkło flint 0–100 7
tantal 0–100 6,5
wolfram 0–100 4,5
złoto 17–100 14,3
żelazo 0–100 11

Anizotropia współczynnika rozszerzalności liniowej

Substancje o anizotropowej strukturze mogą wykazywać również anizotropię rozszerzalności liniowej. Substancjami takimi są kryształy i niektóre substancje organiczne. Przykłady takich substancji i stopień anizotropii w nich występujący pokazuje tabela:

Substancja zakres temperatur
(°C) 		α minimalny
(10−6/K) 		α maksymalny
(10−6/K)
drewno dębowe 2–34 4,9 54,4
drewno bukowe 2–34 2,6 61,4
kwarc krystaliczny 40 7,81 14,19
szpat islandzki 40 5,4 26,2

W kryształach wartość współczynnika zależy od tego, czy badany wymiar jest równoległy, czy prostopadły do osi kryształu. W przypadku drewna, współczynnik rozszerzalności osiąga wartość maksymalną w kierunku prostopadłym do słojów.

Współczynnik rozszerzalności objętościowej

W przypadku płynów częściej stosuje się współczynnik charakteryzujący względną zmianę objętości, czyli współczynnik rozszerzalności objętościowej. Współczynnik ten określa wzór

β = Δ V V 1 Δ T , {\displaystyle \beta ={\frac {\Delta V}{V}}{\frac {1}{\Delta T}},}

gdzie:

V {\displaystyle V} – objętość płynu,
Δ V {\displaystyle \Delta V} – zmiana objętości wynikająca ze zmiany temperatury.

Wartości współczynników rozszerzalności objętościowej dla wybranych cieczy

W tabeli podane są wartości współczynników rozszerzalności objętościowej

Substancja   β
(10−6/K)
aceton 1487
alkohol metylowy 1259
alkohol etylowy 1101
anilina 855
benzen 1237
brom 1113
chloroform 1273
eter etylowy 505
gliceryna 500
kwas solny (25%) 585
kwas węglowy (bezwodnik) 1071
pentan 1608
rtęć 181
toluen 1099
woda 210

Zależność między współczynnikami

Współczynnik rozszerzalności objętościowej substancji można wyznaczyć znając współczynnik rozszerzalności liniowej tej substancji. Na przykład dla substancji izotropowej objętość sześciennego ciała można zapisać

V = l 3 , {\displaystyle V=l^{3},}

gdzie l {\displaystyle l} jest długością krawędzi sześcianu. Wykorzystując wzór na przyrost długości, wzór ten można wyrazić w postaci

V ( t ) = l 0 3 ( 1 + α t ) 3 , {\displaystyle V(t)=l_{0}^{3}\left(1+\alpha t\right)^{3},}

gdzie V ( t ) {\displaystyle V(t)} jest objętością sześcianu po podniesieniu jego temperatury o t , {\displaystyle t,} a V 0 {\displaystyle V_{0}} jest początkową objętością tego sześcianu. Ponieważ współczynnik α jest bardzo małą liczbą, jego wyższe potęgi są jeszcze dużo mniejsze i można je pominąć. Wówczas zależność objętości od temperatury przybiera postać

V = V 0 ( 1 + 3 α t ) , {\displaystyle V=V_{0}(1+3\alpha t),}

skąd wynika, że

β = 3 α . {\displaystyle \beta =3\alpha .}

Dla substancji anizotropowych związek ten jest trochę bardziej złożony, ponieważ zależy od stopnia anizotropii.

Współczynnik rozszerzalności objętościowej gazów

Współczynniki rozszerzalności objętościowej gazów mają stosunkowo duże wartości a równocześnie gazy są ściśliwe. Zatem współczynnik rozszerzalności jest w tym przypadku definiowany tak, jak dla cieczy, przy dodatkowym warunku, że ciśnienie gazu pozostaje stałe. Dla gazu doskonałego można wyznaczyć wartość tego współczynnika z równania Clapeyrona

p V = n R T , {\displaystyle pV=nRT,}

gdzie:

p {\displaystyle p} – ciśnienie gazu,
n {\displaystyle n} – liczba moli,
R {\displaystyle R} – stała gazowa.

Różniczkując to równanie (przy p = c o n s t {\displaystyle p=\mathrm {const} } ), otrzymuje się

p d V = n R d T . {\displaystyle pdV=nRdT.}

Dzieląc oba równania stronami, otrzymuje się współczynnik rozszerzalności objętościowej

d V V = d T T , {\displaystyle {\frac {dV}{V}}={\frac {dT}{T}},}
d V V 1 d T = 1 T , {\displaystyle {\frac {dV}{V}}{\frac {1}{dT}}={\frac {1}{T}},}
α = 1 T . {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{T}}.}

Wynika stąd, że dla temperatury 0 °C dla wszystkich gazów

α = 1 273 , 16 1 K ≈ 3660 , 9 ⋅ 10 − 6 1 K . {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{273{,}16}}{\frac {1}{\text{K}}}\approx 3660{,}9\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\text{K}}}.}

Dla gazów rzeczywistych wartość współczynnika odbiega trochę od tej wartości. Rozbieżność ta zależy od temperatury krytycznej danego gazu i wartości ciśnienia. Na przykład dla azotu wartość współczynnika rozszerzalności wyraża wzór

α = ( 3660 , 9 − 12 , 7 p ) ⋅ 10 − 6 1 K , {\displaystyle \alpha =(3660{,}9-12{,}7p)\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\text{K}}},}

gdzie p {\displaystyle p} jest ciśnieniem azotu.

Współczynnik rozszerzalności powierzchniowej

Współczynnik ten definiuje się dla ciał o dużych powierzchniach i stosunkowo małych grubościach, np. blach, arkuszy, płyt itp. Określa się go analogicznym wzorem

σ = Δ S S 1 Δ T , {\displaystyle \sigma ={\frac {\Delta S}{S}}{\frac {1}{\Delta T}},}

gdzie:

S {\displaystyle S} – powierzchnia ciała,
Δ S {\displaystyle \Delta S} – przyrost powierzchni przy wzroście temperatury o Δ T . {\displaystyle \Delta T.}

W przypadku substancji izotropowej współczynnik σ {\displaystyle \sigma } jest powiązany ze współczynnikiem α {\displaystyle \alpha } następującym przybliżonym wzorem

σ = 2 α . {\displaystyle \sigma =2\alpha .}

Zależność tę można wyprowadzić w sposób analogiczny jak zależność pomiędzy α {\displaystyle \alpha } i β . {\displaystyle \beta .}

Przypisy

  1. ↑ Poradnik fizykochemiczny, WNT, Warszawa 1974, s. A 93.

Bibliografia