Equação diferencial ordinária

Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é

${\displaystyle f'=f,\,}$

onde ${\displaystyle f}$ é uma função desconhecida, e ${\displaystyle f'}$ a sua derivada.

Definição

Seja y uma função de x e que

${\displaystyle y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}}$

denote as suas derivadas

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve

${\displaystyle x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots }$.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem ${\displaystyle n}$ da maior derivada na equação.

Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.

Quanto à linearidade: uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função

${\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}$. Dizemos que a equação diferencial é linear se ${\displaystyle F}$ for linear em ${\displaystyle y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)}$. ^[1]

Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.

Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma

${\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}$

é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma

${\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}}$

é designada equação diferencial explícita.

Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.

Exemplos práticos

Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.

Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.

Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).

Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).}$

Pelo cálculo da função ${\displaystyle N(t)\!}$ nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial

${\displaystyle m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).}$

A função procurada aqui é a função ${\displaystyle x(t)\!}$, cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.

Equações diferenciais específicas

Equações diferenciais lineares

Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como

${\displaystyle f_{n}(x)y^{(n)}(x)+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f_{1}(x)y'(x)+f_{0}(x)y(x)=q(x)\,}$

Esta equação é de grau n quando a função f_n(x) não é identicamente nula.

Outros casos

• Equação diferencial de Bernoulli
• Equação de Clairaut
• Equação diferencial de d'Alembert
• Equação diferencial de Euler
• Equação de Riccati

Solução de uma Equação Diferencial Ordinária

Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.^[2]

Exemplo

${\displaystyle y'+y=0}$

Solução particular: ${\displaystyle y(x)=e^{-x}}$

Solução geral: ${\displaystyle y(x)=Ce^{-x}}$ (C constante)

As soluções se classificam em:

• Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n=ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas ${\displaystyle C,2C,C^{2},\ln {C},...}$
• Solução particular - obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).^[3]

Métodos para resolução de EDO

A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo.^[4] Os métodos mais conhecidos são:

• Método do Fator Integrante
• Equações Separáveis
• Método da variação de parâmetros
• Equação diferencial exata
• Redução de Ordem
• Coeficientes a determinar
• Equações homogêneas de primeira ordem
• Redutível à homogênea

Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícita. Duas formas adicionais são aplicadas:

• Integração Numérica
• Estudos qualitativos;

Referências

Ver também

• Equação diferencial
• Equação diferencial parcial
• Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
• Equações diferenciais estocásticas
• Sistemas Dinâmicos

Ligações externas

• «CEFET/RJ matéria de E.D.O.». ^{[ligação inativa]} 
• «EDO»