Tábua de integrais

Uma tábua de integrais^[1] (ou tabela de integrais) é uma lista que relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às propriedades de integração, tais tabelas são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais. Este artigo contém uma tabela de integração para funções comumente utilizadas. Ao longo do texto, ${\displaystyle a,c\in \mathbb {R} }$ são constantes dadas e ${\displaystyle C}$ denota uma constante indeterminada. As fórmulas estão apresentadas sem referência explícita do conjunto para a qual sejam válidas. Mais informações sobre elas, bem como suas demonstrações, podem ser encontradas em livros-texto de cálculo^[2][3][4] e de compêndios de matemática.^{[5][6][7][8][9]}

Propriedades das Integrais Indefinidas

• ${\displaystyle \int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx}$
• ${\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$
• ${\displaystyle \int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx}$

Integrais Indefinidas de Funções Simples

Funções Racionais

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções racionais

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ para }}n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}$^[10]
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc tg }}{\frac {x}{a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {a+x}{a-x}}\right|+C}$^[11]

Logaritmos

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções logarítmicas

• ${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C}$
• ${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}$

Funções Exponenciais

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções exponenciais

• ${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$

Funções Irracionais

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções irracionais

• ${\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx={\mbox{arc sen }}{\frac {x}{a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arccos {\frac {x}{a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}}dx={\frac {1}{a}}{\mbox{arc sec }}\left|{\frac {x}{a}}\right|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}dx=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}\right|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}}dx=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}\right|+C}$

Funções Trigonométricas

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções trigonométricas

• ${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\operatorname {sen} {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{sen }}{x}\,dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{tg }}{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$^[12]
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{cossec }}{x}-{\mbox{cotg }}{x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+{\mbox{tg }}{x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cotg }}{x}\,dx=\ln {\left|{\mbox{sen }}{x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}{\mbox{tg }}{x}\,dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossec }}{x}{\mbox{cotg }}{x}\,dx=-{\mbox{cossec }}{x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx={\mbox{tg }}x+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossec}}^{2}x\,dx=-{\mbox{cotg }}x+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{sen}}^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-{\mbox{sen }}x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+{\mbox{sen }}x\cos x)+C}$

Funções Hiperbólicas

Ver artigo principal: Lista de integrais de funções hiperbólicas

• ${\displaystyle \int {\mbox{senh }}x\,dx=\cosh x+C}$
• ${\displaystyle \int \cosh x\,dx={\mbox{senh }}x+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{tgh }}x\,dx=\ln(\cosh x)+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cossech}}\,x\,dx=\ln \left|{\mbox{tgh }}{x \over 2}\right|+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx={\mbox{arctg }}({\mbox{senh }}x)+C}$
• ${\displaystyle \int {\mbox{cotgh }}x\,dx=\ln |{\mbox{senh }}x|+C}$

Integrais Impróprias^{[carece de fontes?]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\sqrt {\pi }}}$

Funções Especiais

• Função gama: ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx}$^[13]
• Função erro: ${\displaystyle {\text{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}$
• Logaritmo integral: ${\displaystyle {\text{Li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}}$
• Integral elíptica de primeiro tipo: ${\displaystyle F(a,\theta )=\int _{0}^{{\text{sen }}\theta }{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-a^{2}x^{2})}}}}$
• Seno integral: ${\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {{\text{sen }}t}{t}}dt}$
• Cosseno integral: ${\displaystyle {\text{Ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {{\text{cos}}t}{t}}dt}$

Referências

• Portal da matemática