Tribu (mathématiques)

Vous lisez un « bon article » labellisé en 2010.

Pour les articles homonymes, voir Tribu et Algèbre (homonymie).

Supposons qu'il existe une application ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})\to \mathbb {R} ^{+}}$ vérifiant les propriétés (1) à (4). On identifie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ à ${\displaystyle \mathbb {C} }$ et notons ${\displaystyle \Omega }$ le disque unité de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ privé de ${\displaystyle 0}$.

${\displaystyle \Omega =\{u\in \mathbb {C} \,\mid \,0<\mid u\mid <1\}}$

Posons également ${\displaystyle T=\{\gamma \in \mathbb {C} \,\mid \,\mid \gamma \mid =1\}}$. Géométriquement, ${\displaystyle T}$ s'identifie au groupe des rotations de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {C} }$ centrées en ${\displaystyle 0}$. Un nombre ${\displaystyle \gamma =e^{i\theta }\in T}$ s'identifie à la rotation ${\displaystyle r_{\gamma }}$ d'angle ${\displaystyle \theta }$. Pour ${\displaystyle u\in \mathbb {C} }$, on écrira ${\displaystyle \gamma \cdot u}$ au lieu de ${\displaystyle r_{\gamma }(u)}$ et pour tout ensemble ${\displaystyle E\subset \Omega }$, on pose ${\displaystyle \gamma \cdot E=\{\gamma \cdot u\,\mid \,u\in E\}}$. Comme les rotations préservent les longueurs, ${\displaystyle \Omega }$ est stable par n'importe quelle rotation. Autrement dit, le groupe ${\displaystyle T}$ agit sur ${\displaystyle \Omega }$. Soit maintenant ${\displaystyle \Gamma \subset T}$ l'ensemble des "rotations rationnelles".

${\displaystyle \Gamma =\{e^{i\theta }\,\mid \,\theta \in 2\pi \mathbb {Q} \}}$

${\displaystyle \Gamma }$ est un sous-groupe de ${\displaystyle T}$, donc on définit une relation d'équivalence sur ${\displaystyle \Omega }$ telle que

${\displaystyle u\sim v\Longleftrightarrow \exists \gamma \in \Gamma ,\,\gamma \cdot u=v}$

On note ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation ${\displaystyle \sim }$.

Grâce à l'axiome du choix, il est possible de choisir un point ${\displaystyle u_{C}}$ dans chaque classe d'équivalence ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$. Si on pose ${\displaystyle E=\{u_{C}\,\mid \,C\in {\mathcal {C}}\}}$, alors ${\displaystyle E}$ rencontre chaque classe d'équivalence ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ en exactement un point (à savoir ${\displaystyle u_{C}}$). On en déduit que ${\displaystyle E}$ possède les propriétés suivantes :

(i) ${\displaystyle \bigcup \limits _{\gamma \in \Gamma }\gamma \cdot E=\Omega }$

(ii) Les ensembles ${\displaystyle \gamma \cdot E}$ sont deux à deux disjoints.

La propriété (i) est évidente puisque ${\displaystyle E}$ rencontre chaque classe d'équivalence. Pour (ii), supposons que ${\displaystyle (\gamma \cdot E)\cap (\gamma '\cdot E)\neq \emptyset }$ avec ${\displaystyle \gamma ,\gamma '\in \Gamma }$. Soit ${\displaystyle u,u'\in E}$ tels que ${\displaystyle \gamma \cdot u=\gamma '\cdot u'}$. Alors ${\displaystyle u\sim u'}$ et donc ${\displaystyle u=u'}$ car ${\displaystyle E}$ rencontre chaque classe en au plus un point. Ainsi ${\displaystyle \gamma \cdot u=\gamma '\cdot u}$ et donc ${\displaystyle \gamma =\gamma '}$ car ${\displaystyle u\neq 0}$. Comme ${\displaystyle \Gamma }$ est dénombrable, on doit avoir par (i) et (ii) et (2)

${\displaystyle \mu (\Omega )=\sum _{\gamma \in \Gamma }\mu (\gamma \cdot E)}$

Mais par (3), on a aussi ${\displaystyle \mu (\gamma \cdot E)=\mu (E)}$ pour tout ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$. Comme ${\displaystyle \Gamma }$ est infini, on en déduit que la somme ${\displaystyle \sum _{\gamma \in \Gamma }\mu (\gamma \cdot E)}$ vaut ou bien ${\displaystyle 0}$ (si ${\displaystyle \mu (E)=0}$) ou bien ${\displaystyle +\infty }$ (si ${\displaystyle \mu (E)>0}$). Ainsi ${\displaystyle \mu (\Omega )\in \{0,+\infty \}}$. Pour conclure, on applique alors la proposition suivante :

Si ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ est borné, alors ${\displaystyle \mu (A)<+\infty }$. Si ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ est d'intérieur non vide, alors ${\displaystyle \mu (A)>0}$.

D'après la proposition précédente, on a ${\displaystyle 0<\mu (\Omega )<+\infty }$, or on a montré que ${\displaystyle \mu (\Omega )\in \{0,+\infty \}}$, absurde. L'absurdité vient du fait qu'on a supposé l'existence de cette application.

Remarque : On pourrait rétorquer que la propriété d'additivité dénombrable (2) est trop forte, et qu'on pourrait se contenter d'exiger l'additivité finie (2') : ${\displaystyle {\Big (}\mu (\bigcup _{k=0}^{n}A_{k})=\sum _{k=0}^{n}A_{k}{\Big )}}$ pour voir si la contradiction disparaît. Dans ce cas, Banach a montré en utilisant l'axiome du choix qu'il est possible d'attribuer une aire à toutes les parties du plan de façon que (1), (2'), (3) et (4) soient vérifiées, mais Hausdorff a montré que ceci est impossible en dimension ${\displaystyle 3}$ : on ne peut pas attribuer un volume à toutes les parties de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ de sorte que la fonction volume soit finiment additive et invariante par rotations, et que le volume du cube unité soit fini et non nul. Le paradoxe de Banach-Tarski traite un résultat similaire^[9].

Assurons-nous que ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est non vide.

Puisqu'on a ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {B}}}$ et ${\displaystyle f^{-1}(\emptyset )=\emptyset }$, on a alors ${\displaystyle \emptyset \in f^{-1}({\mathcal {B}})}$.

Vérifions que ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par passage au complémentaire.

Soit ${\displaystyle A\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$, par définition il existe ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ tel que ${\displaystyle A=f^{-1}(B)}$. Puisque ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une tribu, on a ${\displaystyle Y\backslash B\in {\mathcal {B}}}$ puis ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$. Puisqu'on a ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)=X\backslash f^{-1}(B)}$, alors ${\displaystyle X\backslash f^{-1}(B)\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$ et donc ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par passage au complémentaire.

On vérifie enfin que ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par réunion dénombrable.

Soit ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite d'éléments de ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$, par définition on a ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\exists B_{n}\in {\mathcal {B}},A_{n}=f^{-1}(B_{n})}$. Puisque ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est stable par réunion dénombrable, alors ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ puis ${\displaystyle f^{-1}(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n})\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$. Or, on a ${\displaystyle f^{-1}(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n})=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})}$, donc ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})\in f^{-1}({\mathcal {B}})}$ et donc ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ est stable par réunion dénombrable.

On note ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,\mid \,f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}\}}$.

On remarque qu'on a ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {P}}(Y)}$ avec ${\displaystyle f^{-1}(\emptyset )=\emptyset \in {\mathcal {A}}}$. Donc ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {B}}}$ et ainsi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est non vide.

Soit ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$, on a par définition ${\displaystyle f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}$, puis on a ${\displaystyle X\backslash f^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}$ car ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est stable par passage au complémentaire. Or on a ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)=X\backslash f^{-1}(B)}$. Donc ${\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)\in {\mathcal {A}}}$ et par conséquent on a ${\displaystyle Y\backslash B\in {\mathcal {B}}}$. Donc ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est stable par passage au complémentaire.

Soit ${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, on a ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,f^{-1}(B_{n})\in {\mathcal {A}}}$. Puisque ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est stable par réunion dénombrable, alors ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})\in {\mathcal {A}}}$. Or, on a ${\displaystyle f^{-1}(\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n})=\bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(B_{n})}$. Donc ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ et ainsi ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est stable par réunion dénombrable.

On a ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})\subset f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))}$ car ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset \sigma _{Y}({\mathcal {F}})}$. De plus, ${\displaystyle f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))}$ est une tribu sur ${\displaystyle X}$ d'après la proposition précédente sur la tribu image réciproque. Puisque ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ est inclus dans cette tribu et que ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ est la plus petite tribu contenant ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$, alors on a ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))\subset f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))}$.

Réciproquement, posons ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,\mid \,f^{-1}(B)\in \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))\}}$. D'après la proposition précédente sur la tribu image, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ est une tribu sur ${\displaystyle Y}$. Soit ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$, on a ${\displaystyle f^{-1}(F)\in f^{-1}({\mathcal {F}})\subset \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ et donc par définition de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ on a ${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}}$ i.e. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {B}}}$.

${\displaystyle \sigma _{Y}({\mathcal {F}})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \sigma _{Y}({\mathcal {F}})\subset {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))\subset f^{-1}({\mathcal {B}})=\{f^{-1}(B)\,\mid \,B\in {\mathcal {B}}\}\subset \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$

Si ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})\subset {\mathcal {A}}}$, on a directement ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})\subset f^{-1}({\mathcal {B}})\subset {\mathcal {A}}}$ puisque ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {B}}}$.

Réciproquement, puisque ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ est la plus petite tribu contenant ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$, on a ${\displaystyle \sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))\subset {\mathcal {A}}}$. Or on sait que ${\displaystyle f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))=\sigma _{X}(f^{-1}({\mathcal {F}}))}$ d'après le théorème précédent, donc ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}(\sigma _{Y}({\mathcal {F}}))\subset {\mathcal {A}}}$.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$, l'injection canonique ${\displaystyle i:\left\{{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow &X\\x&\longmapsto &x\end{array}}\right.}$ vérifie pour tout ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle i^{-1}(F)=\{x\in E\,\mid \,i(x)\in F\}=\{x\in E\,\mid \,x\in F\}=E\cap F}$

Ainsi on a :

${\displaystyle i^{-1}({\mathcal {F}})=\{i^{-1}(F)\,\mid \,F\in {\mathcal {F}}\}=\{F\cap E\,\mid \,F\in {\mathcal {F}}\}={\mathcal {F}}_{E}}$

En reprenant l'injection canonique, on a ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{E}=i^{-1}({\mathcal {A}})}$, qui est une tribu d'après la proposition sur la tribu image réciproque.

${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\,A\cap E\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle A\cap E\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle A\cap E\subset E}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{E}=\{A\cap E\,\mid \,A\in {\mathcal {A}}\}\subset \{B\in {\mathcal {A}}\,\mid \,B\subset E\}}$

${\displaystyle C\in \{B\in {\mathcal {A}}\,\mid \,B\subset E\}}$

${\displaystyle C=C\cap E}$

${\displaystyle C\in \{A\cap E\,\mid \,A\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle \{B\in {\mathcal {A}}\,\mid \,B\subset E\}\subset \{A\cap E\,\mid \,A\in {\mathcal {A}}\}={\mathcal {A}}_{E}}$

Supposons infinie la tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sur l'ensemble X. Comme tout élément de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est réunion d'atomes, les atomes sont eux aussi en nombre infini. Considérons alors ${\displaystyle \left(C(x_{i})\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ une suite d'atomes distincts (donc deux à deux disjoints).

Pour tous indices ${\displaystyle i\not =j}$, la définition de ${\displaystyle C(x_{i})}$ et le fait que ${\displaystyle x_{j}\not \in C(x_{i})}$, entraînent l'existence d'un ${\displaystyle A_{ij}\in {\mathcal {A}}}$ tel que :

${\displaystyle (1)\qquad x_{i}\in A_{ij}}$ mais ${\displaystyle x_{j}\not \in A_{ij}}$.

On définit alors une application ${\displaystyle \Phi \,\colon \,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\to {\mathcal {A}}}$ en posant, pour ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} }$ :

${\displaystyle \Phi (I)=\bigcup _{i\in I}\bigcap _{j\not =i}A_{ij}}$.

En utilisant ${\displaystyle (1)}$, on vérifie que ${\displaystyle I=\{i\in \mathbb {N} \,\mid \,x_{i}\in \Phi (I)\}}$, on conclut que ${\displaystyle \Phi }$ est injective.

Notons ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ la partie infinie dénombrable de l'énoncé.

Les tribus infinies ont toutes au moins la puissance du continu. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ contenant l'ensemble infini ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, elle est infinie et son cardinal est donc supérieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, cardinal du continu.

Montrons l'inégalité inverse. Avec les notations de la section précédente, la classe ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ qui initialise l'induction est infinie dénombrable. On construit une réunion dénombrable de parties de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ à partir de chaque suite d'éléments de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ (étant bien sûr entendu que de nombreuses suites fournissent la même réunion). Le cardinal de ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{0})_{\sigma }}$ est donc inférieur ou égal à celui de ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{0})^{\mathbb {N} }}$, qui est ${\displaystyle \aleph _{0}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$. Il en est de même avec les intersections et l'on conclut que le cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ est inférieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

En reprenant le même raisonnement, le cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ est à son tour inférieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$.

On montre alors par récurrence transfinie que pour tout α < ω₁ :

${\displaystyle \mathrm {card} \,{\mathcal {F}}_{\alpha }\leq {\mathfrak {c}}.}$

Quand α est un ordinal successeur c'est la même méthode que celle explicitée sur le passage de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ; quand α est un ordinal limite, il est par définition union dénombrable d'ensembles de cardinal inférieur ou égal à ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, donc lui-même de cardinal inférieur ou égal à ${\displaystyle \aleph _{0}\,{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$.

Enfin, la tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est écrite comme une union d'ensembles qui sont tous de la forme ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$, en utilisant un ensemble d'indices de cardinal ${\displaystyle \aleph _{1}}$. On conclut que ${\displaystyle \mathrm {card} \,{\mathcal {A}}\leq \aleph _{1}\,{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}}$.

1. ↑ Signalé en note par Albert Tortrat, Calcul des probabilités et introduction aux processus aléatoires, Masson, 1971, p. 31. C'est la terminologie historiquement utilisée par Andreï Kolmogorov dans son axiomatisation de la théorie des probabilités.
2. ↑ Paul Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950, p. 28. Des variantes mineures sont possibles, en particulier on trouve souvent pour condition (1) l'appartenance du vide à ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (ainsi dans Briane et Pagès 2000, p. 45-45) ou celle de ${\displaystyle X}$ à ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (ainsi dans Donald L. Cohn, Measure theory, Birkhäuser, 1980 (ISBN 978-3-7643-3003-3), p. 1-2). Voir la partie Propriétés élémentaires de cet article pour les démonstrations.
3. ↑ Adriaan Zaanen, Integration, North Holland, 1967, 2^e éd., p. 25-28 ou Ole A. Nielsen, An Introduction to Integration and Measure Theory, Wiley-interscience, 1997, 473 p. (ISBN 978-0-471-59518-2), p. 123
4. ↑ La définition est par exemple donnée sous cette forme dans (en) Vladimir Bogachev, Measure Theory, Berlin, Springer, 2007, 575 p. (ISBN 978-3-540-34513-8 et 3-540-34513-2), p. 4
5. ↑ Certaines sources relativement anciennes proposent des définitions marginalement différentes : pour Halmos 1950, p. 73, un espace mesurable est un ensemble muni d'un σ-anneau à unité ; pour Sterling Berberian, Measure and Integration, MacMillan, 1965, p. 35, c'est un ensemble muni d'un sigma-anneau (sans condition d'existence d'une unité). Les relations entre les trois définitions sont exposées dans l'ouvrage de S. Berberian, p. 35-36.
6. ↑ Pier 1996, p. 206-207 estime que le « pas décisif est franchi » en 1914, à la publication des Grundzüge der Mengenlehre de Felix Hausdorff en s'appuyant notamment sur une citation de Wilhelm Blaschke.
7. ↑ Pier 1996, p. 163-165.
8. ↑ Pier 1996, p. 170.
9. ↑ ^{a b c et d} Étienne Matheron, « Théorie de l’intégration » [PDF], sur matheron.perso.math.cnrs.fr (consulté le 13 juin 2022), p. 17-19
10. ↑ Pier 1996, p. 208.
11. ↑ L'idée selon laquelle ce type de tribu « représente la connaissance » à un temps donné est explicitement énoncée dans Mircea Gregoriu, Stochastic Calculus : Applications in Science and Engineering, Birkhäuser, 2002, 774 p. (ISBN 978-0-8176-4242-6, lire en ligne), p. 78. On trouve une exposition intuitive des tribus comme ensembles d'« observables » dans I. I. Gihman et A. V. Skorokhod, The theory of stochastic processes I, Springer-Verlag, 1974, p. 143.
12. ↑ Cet énoncé est légèrement adapté du théorème 1-18 de Achim Klenke, Probability theory, a comprehensive course, Springer, 2008 (ISBN 978-1-84800-047-6), p.7
13. ↑ L'énoncé est ainsi donné sous cette forme (et les λ-systèmes définis à partir d'unions croissantes) dans Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 704 p. (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), lemme 4-10, p. 135.
14. ↑ Revuz 1997, p. 26-27.
15. ↑ Revuz 1997, p. 26-27 et 110-111.
16. ↑ Briane et Pagès 2000, p. 265-266 notent qu'il serait « irréaliste » d'essayer de munir l'ensemble d'arrivée de la tribu de Lebesgue.
17. ↑ Sashi Mohan Srivastava, A course on Borel sets, Springer, 1998, 264 p. (ISBN 978-0-387-98412-4, lire en ligne), Théorème 3-3-13, p. 99 (la source ne fournit pas l'attribution à Kuratowski).
18. ↑ ^{a et b} Briane et Pagès 2000, p. 48-49.
19. ↑ On trouvera un exposé du produit des tribus et mesures dans la plupart des livres consacrés à la théorie de la mesure, par exemple dans Briane et Pagès 2000, chap.11, p. 191-211.
20. ↑ Klenke 2008, p. 272.
21. ↑ Briane et Pagès 2000, p. 263-264.
22. ↑ Briane et Pagès 2000, exercice 4-5, p. 51.
23. ↑ Cela dit, si l'espace mesurable sous-jacent est séparable i.e. si la tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est engendrée par un ensemble dénombrable de parties (notamment s'il s'agit d'un espace métrisable séparable muni de sa tribu borélienne), alors les atomes sont mesurables.
24. ↑ Outre cette notion d'atome, définie sur un espace mesurable indépendamment de toute mesure, il existe une autre notion sur un espace probabilisé ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$ : on dit qu'un élément A de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est un P-atome si ${\displaystyle P(A)>0}$ et si quel que soit B dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ tel que ${\displaystyle 1_{B}\leq 1_{A}}$ P presque surement, ou bien ${\displaystyle 1_{B}=1_{A}}$ ou bien ${\displaystyle 1_{B}=0}$. Contrairement aux atomes, les P-atomes appartiennent toujours à ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Pour en savoir plus sur les atomes ainsi que les démonstrations de ce qu'on vient d'énoncer, voir C. Dellacherie et P.-A. Meyer, Probabilité et Potentiel, tome 1 ; quant aux P-atomes, voir par exemple P. Malliavin, Intégration et probabilités, chapitre sur les probabilités.
25. ↑ Briane et Pagès 2000, exercice 4-5, p. 51 précité contient un énoncé voisin. Celui-ci est implicite dans Revuz 1997, p. 110-111.
26. ↑ Revuz 1997, p. 110-111.
27. ↑ A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions], p. 243.
28. ↑ Dahan-Dalmedico et Peiffer 1986, p. 230.
29. ↑ Bernard Maurey et Jean-Pierre Tacchi, « Ludwig Scheefer et les extensions du théorème des accroissements finis », Séminaire du Luxembourg, Travaux mathématiques, vol. 13,‎ 2002 (lire en ligne).
30. ↑ ^{a et b} (en) John Stillwell, Mathematics and Its History [détail des éditions], 2010, p. 532, aperçu sur Google Livres.
31. ↑ Pier 1996, p. 115-116 qui renvoie à Émile Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, 1898.
32. ↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, Springer, 2006, 2^e éd., 376 p. (ISBN 3-540-33938-8), p. 279.
33. ↑ Stanisław Saks, Théorie de l'intégrale, Warszawa, Seminar. Matem. Uniw. Warsz., coll. « Monografje Matematyczne », 1933 (lire en ligne), iv-v.
34. ↑ Pier 1996, p. 117-122. Les travaux de Lebesgue sont publiés sous forme d'une note : « Sur une généralisation de l'intégrale définie », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 132,‎ 1901, p. 1025-1028 suivie d'un article : « Intégrale, longueur, aire », Ann. Mat. Pura Appl. (en), vol. 7,‎ 1902, p. 231-359 et enfin d'un traité : Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier-Villars, 1904.
35. ↑ Pier 1996, p. 169-170 qui renvoie à (de) Constantin Carathéodory, « Über das lineare Maß von Punktmengen - eine Verallgemeinerungdes Längenbegriffs », Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,‎ 1914, p. 404-426.
36. ↑ JPier 1996, p. 165}, qui renvoie à Maurice Fréchet, « Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait », Bull. Soc. Math. Fr., vol. 43,‎ 1915, p. 248-265.
37. ↑ Pier 1996, p. 153, qui renvoie à Wacław Sierpiński, « Les ensembles boréliens abstraits », Ann. Soc. Math. Polon., vol. 6,‎ 1927, p. 50-53.
38. ↑ Pier 1996, p. 166, qui renvoie à Otton Nikodým, « Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon », Fund. Math., vol. 15,‎ 1930, p. 131-179.
39. ↑ Saks 1933, annexe p. 247-248 dans l'édition susmentionnée (sous le nom de « famille additive »). L'influence de l'ouvrage est soulignée par Pier 1996, p. 166.
40. ↑ Andrey Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea, 1956, 2^e éd. (1^re éd. 1933) (lire en ligne), p. 16 dans l'édition mentionnée (sous le nom de « corps de Borel »). L'importance historique de l'ouvrage est un lieu commun, voir par exemple Pier 1996, p. 208. Dans son ouvrage, Andreï Kolmogorov renvoie au Mengenlehre de 1927 de Felix Hausdorff, mais ce dernier ne contient pas de définition explicitement mise en avant d'une sigma-algèbre.
41. ↑ Pier 1996, p. 171, qui renvoie à : René de Possel, « Sur la dérivation abstraite des fonctions d'ensemble », J. Math. Pures Appl., vol. 15,‎ 1936, p. 391-409.