Formule di prostaferesi

In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.

La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole greche, prosthesis (πρόσθεσις) e aphairesis (ἀφαίρεσις), che significano rispettivamente "somma" e "sottrazione".

Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo, tuttavia è probabile che, almeno in parte, fossero già note in precedenza.[1]

Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce a una semplificazione dell'espressione trigonometrica studiata. Sono in particolare utili nella descrizione dei battimenti.

Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner, su cui si basa l'algoritmo di prostaferesi.

Prima formula di prostaferesi

sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 {\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}

Seconda formula di prostaferesi

sin ⁡ α − sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + β 2 {\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\,\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}

Terza formula di prostaferesi

cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 cos ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}

Quarta formula di prostaferesi

cos ⁡ α − cos ⁡ β = − 2 sin ⁡ α + β 2 sin ⁡ α − β 2 {\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\,\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}

Formule di prostaferesi per la tangente

tan ⁡ α ± tan ⁡ β = sin ⁡ ( α ± β ) cos ⁡ α cos ⁡ β c o n   α , β ≠ ( 2 k + 1 ) π 2 ; k ∈ Z {\displaystyle \tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq (2k+1){\frac {\pi }{2}};k\in \mathbb {Z} }

Formule di prostaferesi per la cotangente

cot ⁡ α ± cot ⁡ β = sin ⁡ ( β ± α ) sin ⁡ α sin ⁡ β c o n   α , β ≠ k π ; k ∈ Z {\displaystyle \cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \,\sin \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq k\pi ;k\in \mathbb {Z} }

Formule di prostaferesi con l'esponenziale complesso

Tutte le formule di prostaferesi possono essere derivate algebricamente ricordando che per l'esponenziale complesso è valida la formula di Eulero. Se P {\displaystyle {\mathcal {P}}} è, indifferentemente, la funzione parte reale o immaginaria di un numero complesso, le formule di prostaferesi possono essere espresse come

P ( e i a ± e i b ) = P ( e i a 2 e i b 2 ( e i a − b 2 ± e − i a − b 2 ) ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}\pm e^{ib})={\mathcal {P}}(e^{i{\frac {a}{2}}}e^{i{\frac {b}{2}}}(e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}))}
= P ( e i a + b 2 ( e i a − b 2 ± e − i a − b 2 ) ) {\displaystyle ={\mathcal {P}}(e^{i{\frac {a+b}{2}}}(e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}))}

In altre parole, data la somma di due numeri complessi di modulo unitario (in forma polare), raccogliamo il numero complesso di argomento pari a metà angolo del primo e quello di argomento pari a metà angolo del secondo. Esprimiamo così la somma dei due numeri complessi come un (opportuno) prodotto di un numero complesso per un numero ( e i a − b 2 ± e − i a − b 2 {\displaystyle e^{i{\frac {a-b}{2}}}\pm e^{-i{\frac {a-b}{2}}}} ) puramente reale o puramente immaginario (a seconda del segno), come vedremo.

Ricordiamo che ℜ ( e i α ) = e i α + e − i α 2 = cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \Re (e^{i\alpha })={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}=\cos(\alpha )} e ℑ ( e i α ) = e i α − e − i α 2 i = sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \Im (e^{i\alpha })={\frac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}=\sin(\alpha )} , e sono operatori lineari. Dunque abbiamo due casi:

P ( e i a + e i b ) = 2 cos ⁡ ( a − b 2 ) P ( e i a + b 2 ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}+e^{ib})=2\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right){\mathcal {P}}\left(e^{i{\frac {a+b}{2}}}\right)}

per linearità, e equivalentemente

P ( e i a − e i b ) = 2 sin ⁡ ( a − b 2 ) P ( i e i a + b 2 ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(e^{ia}-e^{ib})=2\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right){\mathcal {P}}\left(i\,e^{i{\frac {a+b}{2}}}\right)}

Note

  1. ^ Carl B. Boyer, Storia della matematica, 1990, Oscar Saggi Mondadori, p. 356, ISBN 88-04-33431-2.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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