Arcoseno

Disambiguazione – "Asin" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Asin (disambigua).

In trigonometria l'arcoseno è definito come funzione inversa del seno di un angolo. La funzione seno non è biettiva quindi non è possibile avere la sua inversa, tuttavia è possibile restringere il suo dominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva e quindi invertibile. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione seno nell'intervallo [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} .[1]

Notazione

In matematica l'arcoseno può essere indicato con una delle notazioni arcsin, arcsen, asin, asen, sin-1, sen-1. Queste ultime due notazioni, coerenti con la notazione per una funzione inversa (f-1) e diffuse sulle tastiere di diverse calcolatrici, possono creare confusione con la notazione sen2(x), che oltre ad indicare la composizione sen(sen(x)) viene utilizzata per indicare il quadrato (sen x)2; per questo motivo il reciproco del seno di un angolo (la sua cosecante) viene sempre indicato con (sin x)-1. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ASIN e ASN.

Proprietà

Grafico della funzione y=arcsin(x)

L'arcoseno è una funzione continua e strettamente crescente, definita per tutti i valori nell'intervallo [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} :[2]

arcsin : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} .

Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani, essendo arcsin ⁡ x = − arcsin ⁡ ( − x ) {\displaystyle \arcsin x=-\arcsin \left(-x\right)} .

La derivata della funzione arcoseno è:[3] [4]

d d x arcsin ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} .

La serie di Maclaurin corrispondente è:[5]

arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 = x + 1 6 x 3 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + ⋯ {\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots } .

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi, ossia per definizione di funzione dispari:

arcsin ⁡ ( − x ) = − arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x} .

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcoseni in un'espressione dove l'arcoseno figura una volta sola:

arcsin ⁡ x 1 ± arcsin ⁡ x 2 = { X ± x 1 x 2 ≤ 0 ∨ x 1 2 + x 2 2 ≤ 1 π − X x 1 > 0 ∧ ± x 2 > 0 ∧ x 1 2 + x 2 2 > 1 − π − X x 1 < 0 ∧ ± x 2 < 0 ∧ x 1 2 + x 2 2 > 1 {\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}}

con

X = arcsin ⁡ ( x 1 1 − x 2 2 ± x 2 1 − x 1 2 ) {\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)} .

Arcoseno di una somma nell'intervallo in cui è definito l'arcoseno:

arcsin ⁡ ( x ± y ) = arcsin ⁡ ( 1 + x 2 − y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) ± arcsin ⁡ ( 1 − x 2 + y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)}

da cui discendono:

arcsin ⁡ ( 2 x ) = 2 arcsin ⁡ ( 1 − 1 − 4 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)}
arcsin ⁡ ( x 2 ) = 2 arcsin ⁡ ( 1 − 1 − x 2 4 2 ) {\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)}

che sono casi particolari di:

arcsin ⁡ ( k x ) = 2 arcsin ⁡ ( 1 − 1 − k 2 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)}

per

0 ≤ k x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq kx\leq 1}

Note

  1. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 186
  2. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 460
  3. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 219
  4. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295
  5. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239

Bibliografia

  • Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.

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