Insieme perfetto

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In matematica, e in particolare in topologia, un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati e uno spazio perfetto è uno spazio topologico senza punti isolati. In questi spazi ogni punto può essere approssimato arbitrariamente bene da altri punti, cioè dato un punto e un intorno del punto esiste un altro punto nell'intorno.

In questo articolo ogni spazio che non è perfetto sarà detto imperfetto.

Esempi

La retta reale R {\displaystyle \mathbb {R} } è uno spazio perfetto connesso. Gli spazi di Baire sono spazi perfetti totalmente sconnessi, e pertanto questo vale anche per lo spazio di Cantor 2 ω {\displaystyle \mathbf {2} ^{\omega }} .

Ogni insieme non vuoto ammette una topologia con la quale è imperfetto: la topologia discreta. Ogni insieme con più di un punto ammette una topologia con la quale è perfetto: la topologia banale.

Proprietà

Ogni sottoinsieme aperto di uno spazio perfetto è perfetto.

Ogni spazio perfetto non vuoto ha sottospazi che sono imperfetti con la topologia di sottospazio: i singoletti.

La proprietà di uno spazio topologico di essere perfetto è una proprietà locale: uno spazio è perfetto se e solo se ogni punto ammette una base di intorni tale che ogni intorno in tale base è perfetto nella topologia di sottospazio.

Sia { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} una famiglia di spazi topologici. Come per ogni proprietà locale, l'unione disgiunta ⨆ i X i {\displaystyle \bigsqcup _{i}X_{i}} è perfetta se e solo se ogni X i {\displaystyle X_{i}} è perfetto.

Il prodotto cartesiano di una famiglia { X i } i ∈ I {\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}} è perfetto nella topologia prodotto se e solo se vale almeno una delle seguenti proprietà:

  • almeno uno degli spazi X i {\displaystyle X_{i}} è perfetto;
  • I = ∅ {\displaystyle I=\varnothing } ;
  • è infinito l'insieme degli indici i ∈ I {\displaystyle i\in I} tali che X i {\displaystyle X_{i}} ha almeno due punti.

L'immagine tramite una funzione continua e i quozienti di spazi perfetti non sono necessariamente perfetti. Ma l'immagine di uno spazio perfetto rispetto ad una funzione continua iniettiva è perfetta.

Un insieme perfetto contenuto in uno spazio metrico completo è non numerabile.

Voci correlate

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