Retrazione

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In matematica, più precisamente in topologia, una retrazione è una particolare funzione continua che "proietta" uno spazio topologico X {\displaystyle X} su un sottoinsieme A {\displaystyle A} .

Quando la retrazione è realizzata da una deformazione continua, il sottoinsieme A {\displaystyle A} è un retratto per deformazione di X {\displaystyle X} e conserva molte delle sue proprietà topologiche.

Definizione

Retrazione

Sia X {\displaystyle X} uno spazio topologico e A {\displaystyle A} un sottoinsieme di X {\displaystyle X} . Una funzione continua

r : X → A {\displaystyle r:X\to A}

è un retrazione di X {\displaystyle X} su A {\displaystyle A} se la sua restrizione ai punti di A {\displaystyle A} è la funzione identità, ovvero se

r ( a ) = a   ∀ a ∈ A . {\displaystyle r(a)=a\ \forall a\in A.}

Un sottoinsieme A {\displaystyle A} è un retratto di X {\displaystyle X} se esiste una retrazione di X {\displaystyle X} su A {\displaystyle A} .

Retratto per deformazione

Una funzione continua

F : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F:X\times [0,1]\to X}

è una retrazione per deformazione di X {\displaystyle X} su A {\displaystyle A} se sono soddisfatte le relazioni seguenti

F ( x , 0 ) = x , F ( a , 1 ) = a , F ( x , 1 ) ∈ A . {\displaystyle F(x,0)=x,\;F(a,1)=a,\;F(x,1)\in A.}

per ogni x {\displaystyle x} in X {\displaystyle X} e ogni a {\displaystyle a} in A {\displaystyle A} . In altre parole, una retrazione per deformazione è un'omotopia fra una retrazione e la funzione identità su X {\displaystyle X} .

Un sottoinsieme A {\displaystyle A} è un retratto per deformazione di X {\displaystyle X} se esiste una retrazione di deformazione di X {\displaystyle X} su A {\displaystyle A} .

Infine, una retrazione per deformazione F {\displaystyle F} si dice forte se

F ( a , t ) = a {\displaystyle F(a,t)=a}

per ogni t {\displaystyle t} in [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . In altre parole, la deformazione non muove i punti in A {\displaystyle A} . In questo caso A {\displaystyle A} è un retratto per deformazione forte.

Esempi

Retrazioni

Sia X {\displaystyle X} uno spazio qualsiasi e x 0 {\displaystyle x_{0}} un punto. La funzione costante

f : X → { x 0 } {\displaystyle f:X\to \{x_{0}\}\,\!}

è una retrazione. Più in generale, è possibile scegliere un punto in ogni componente connessa di X {\displaystyle X} e mandare tutta la componente connessa nello stesso punto: il risultato è sempre una retrazione. D'altra parte, non è possibile costruire una retrazione di uno spazio connesso su due suoi punti, poiché l'immagine di un connesso tramite una funzione continua è sempre connessa.

Deformazioni

Sia X {\displaystyle X} un sottoinsieme convesso di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} contenente l'origine, ad esempio la palla unitaria o tutto R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . La funzione

F : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F:X\times [0,1]\to X}
F : ( x , t ) ↦ ( 1 − t ) x {\displaystyle F:(x,t)\mapsto (1-t)x\,\!}

è una retrazione per deformazione di X {\displaystyle X} sull'origine A = { 0 } {\displaystyle A=\{0\}} .

Proprietà

Retrazioni

Una retrazione

r : X → A {\displaystyle r:X\to A}

manda ogni componente connessa C {\displaystyle C} di X {\displaystyle X} in un sottoinsieme connesso di C {\displaystyle C} .

Se X {\displaystyle X} è connesso per archi, anche A {\displaystyle A} lo è e l'omomorfismo indotto

r ∗ : π ( X ) → π ( A ) {\displaystyle r_{*}:\pi (X)\to \pi (A)}

fra i loro gruppi fondamentali è suriettivo. Inoltre l'inclusione

i : A → X {\displaystyle i:A\to X}

induce una funzione iniettiva

i ∗ : π ( A ) → π ( X ) . {\displaystyle i_{*}:\pi (A)\to \pi (X).}

Entrambe le proprietà derivano dal fatto che la composizione

r ∘ i : A → A {\displaystyle r\circ i:A\to A}

è la funzione identità e quindi induce l'omomorfismo identità

( r ∘ i ) ∗ = r ∗ ∘ i ∗ : π ( A ) → π ( A ) . {\displaystyle (r\circ i)_{*}=r_{*}\circ i_{*}:\pi (A)\to \pi (A).}

Poiché questo è composizione degli omomorfismi i ∗ {\displaystyle i_{*}} e r ∗ {\displaystyle r_{*}} , il primo deve essere iniettivo ed il secondo suriettivo. Gli stessi risultati valgono per i gruppi di omotopia superiori.

Deformazioni

Se la retrazione r {\displaystyle r} è indotta da una deformazione, è omotopa all'identità ed induce quindi una equivalenza omotopica tra X {\displaystyle X} e A {\displaystyle A} . In particolare, le mappe r ∗ {\displaystyle r_{*}} e i ∗ {\displaystyle i_{*}} sono entrambe isomorfismi.

Applicazioni

Teorema del punto fisso di Brower

Non esistono retrazioni

r : D n → S n − 1 = ∂ D n {\displaystyle r:D^{n}\to S^{n-1}=\partial D^{n}}

del disco unitario sulla sua sfera di bordo. Infatti l'omomorfismo indotto

r ∗ : π n − 1 ( D n ) → π n − 1 ( S n − 1 ) {\displaystyle r_{*}:\pi _{n-1}(D^{n})\to \pi _{n-1}(S^{n-1})}

sull' ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -esimo gruppo di omotopia non può essere suriettivo, visto che il primo gruppo è banale ed il secondo no:

π n − 1 ( D n ) = { e } , π n − 1 ( S n − 1 ) = Z . {\displaystyle \pi _{n-1}(D^{n})=\{e\},\quad \pi _{n-1}(S^{n-1})=\mathbb {Z} .}

Da questo fatto discende facilmente il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua

f : D n → D n {\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}

dal disco unitario in sé ha un punto fisso.

Collegamenti esterni

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