Valore singolare

In matematica, il termine valore singolare è utilizzato per indicare due concetti distinti, rispettivamente utilizzati nell'algebra lineare e analisi funzionale e nel contesto degli integrali ellittici.

Algebra lineare e analisi funzionale

In analisi funzionale, i valori singolari di un operatore compatto T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} che mappa tra due spazi di Hilbert X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} sono le radici quadrate degli autovalori dell'operatore autoaggiunto non-negativo T ∗ T : X → X {\displaystyle T^{*}T:X\to X} (dove T ∗ {\displaystyle T^{*}} è l'operatore aggiunto di T {\displaystyle T} ).

Si tratta di numeri reali non negativi solitamente scritti in ordine decrescente come ( s 1 ( T ) , s 2 ( T ) , … ) {\displaystyle (s_{1}(T),s_{2}(T),\dots )} . Se T {\displaystyle T} è a sua volta autoaggiunto allora il maggiore s 1 {\displaystyle s_{1}} tra valori singolari è uguale alla norma operatoriale di T {\displaystyle T} .

In algebra lineare, nel caso di una matrice normale A {\displaystyle A} si può applicare il teorema spettrale per ottenere una diagonalizzazione U λ U ∗ {\displaystyle U\lambda U^{*}} (tramite matrici unitarie) di A {\displaystyle A} in modo che A ∗ A = U | Λ | U ∗ {\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}=U|\Lambda |U^{*}} e quindi i valori singolari sono semplicemente i valori assoluti degli autovalori.

Nel caso finito-dimensionale, tramite la decomposizione ai valori singolari una matrice può essere decomposta nella forma U D W {\displaystyle UDW} dove U {\displaystyle U} e W {\displaystyle W} sono matrici unitarie e D {\displaystyle D} una matrice diagonale (rettangolare) con autovalori sulla diagonale.

Il concetto è stato introdotto da Erhard Schmidt nel 1907. Schmidt chiamava tuttavia "autovalori" i valori singolari; il termine è dovuto a Smithies, nel 1937. Nel 1957 Allahverdiev mostrò la seguente caratterizzazione per l'n-esimo valore singolare:

s n ( T ) = inf { ‖ T − L ‖ :  rk  ( L ) < n } {\displaystyle s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:{\text{ rk }}(L)<n\,{\big \}}}

Questa formulazione consente di estendere la nozione di valore singolare ad operatori in spazi di Banach.

Integrali ellittici

Nell'ambito degli integrali ellittici, un valore singolare è un modulo ellittico k r {\displaystyle k_{r}} tale per cui:

K ′ ( k r ) K ( k r ) = r {\displaystyle {\frac {K'(k_{r})}{K(k_{r})}}={\sqrt {r}}}

dove K ( k ) {\displaystyle K(k)} è un integrale ellittico completo di prima specie e:

K ′ ( k r ) ≡ K ( 1 − k r 2 ) {\displaystyle K'(k_{r})\equiv K\left({\sqrt {1-k_{r}^{2}}}\right)}

Bibliografia

  • (EN) Gohberg, I. C. and Krein, M. G. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins, 1996.
  • (EN) Marcus, M. and Minc, H. Introduction to Linear Algebra. New York: Dover, p. 191, 1988.
  • (EN) Marcus, M. and Minc, H. A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities. New York: Dover, p. 69, 1992.
  • (EN) Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 524-528, 1990.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Valore singolare, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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