Twierdzenie Gerszgorina
Twierdzenie Gerszgorina – twierdzenie pozwalające nałożyć ograniczenia na wartości własne macierzy o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych. Po raz pierwszy zostało opublikowane w roku 1931 przez matematyka pochodzenia białoruskiego, Siemiona Gerszgorina.
Treść twierdzenia oraz dowód
Niech będzie kwadratową macierzą zespoloną o rozmiarze z elementami Dla niech gdzie oznacza moduł z liczby Niech będzie domkniętym kołem o środku w i promieniu Takie koła są nazywane kołami Gerszgorina.
Twierdzenie Gerszgorina: każda wartość własna macierzy leży wewnątrz lub na brzegu przynajmniej jednego z kół
Dowód: Niech będzie wartością własną oraz odpowiadającym jej wektorem własnym. Niech będzie takie, iż Wtedy gdyż w przeciwnym wypadku co nie może zajść dla wektorów własnych (nie są one wektorami zerowymi). Z równania na wartości własne macierzy mamy lub równoważnie (rozpisując zapis macierzowo-wektorowy):
obustronnie odejmując dostajemy:
I dzielimy obustronnie przez (z wyboru i wiemy, że ), a także obkładamy modułami:
Ostatnia nierówność jest poprawna, gdyż z warunku mamy
□
Ponieważ wartości własne macierzy są takie same jak macierzy twierdzenie to można wzmocnić – wszystkie wartości własne macierzy muszą leżeć na przecięciu sumy kół Gerszgorina macierzy i sumy kół dla macierzy
W szczególnym przypadku dla macierzy diagonalnej mamy, że wartości własne muszą być równe elementom leżącym na głównej przekątnej.
Bibliografia
- S. Gerschgorin, Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, „Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk” 7 (1931), s. 749–754.
- R.S. Varga, Geršgorin and His Circles, Berlin: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21100-4. Errata.
- Andrzej Turowicz, Geometria zer wielomianów, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gershgorin Circle Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
- Semyon Aranovich Gershgorin biography at MacTutor
- p
- d
- e
- Wektor
- Przestrzeń liniowa
- Macierz
Wektory i działania na nich |
|
---|---|
Układy wektorów i ich macierze | |
Wyznaczniki i miara układu wektorów | |
Przestrzenie liniowe | |
Iloczyny skalarne | |
Pojęcia zaawansowane | |
Pozostałe pojęcia |
|
Powiązane dyscypliny | |
Znani uczeni |